Director fibrations con una sección son triviales

Question

Estoy tratando de demostrar que, dado un director fibration $\Omega B \rightarrow F \stackrel{p}{\rightarrow} E$ tal que $p$ es una retracción de $F$ a $E$, el espacio total $F$ es homotopy equivalente al producto $\Omega B \times E$. Este es essentialy un problema de Hatcher (4.3, P22).

De todos modos, ya $E$ es un retractarse de $F$, tenemos un mapa de $p \colon E \rightarrow F$ tal que $ps = 1$. Por lo que la larga secuencia exacta en la homotopy para la fibration rompe en split corto exacta de las secuencias, y un método que he estado tratando de mostrar que el isomorfismo en la división es inducida a partir de algunos de mapa de $F \rightarrow \Omega B \times E$, por lo que Whitehead del teorema puede terminar el trabajo (se puede asumir que siempre estoy hablando de CW complejos).

Otro enfoque que he intentado inspirado por la prueba de la declaración similar sobre los principales paquetes y global de la cruz-secciones - es para tratar y definir una acción de la fibra,$\Omega B$$F$. Hasta homotopy, podemos substituir $F$ con el homotopy de fibra de $F_q$ donde $E \stackrel{q}{\rightarrow} B$ es el resto de la fibration secuencia en la que el director fibration, y luego es muy fácil definir una acción de $\Omega B$ $F_q$ (de nuevo, ver los ejercicios en Hatcher), por lo que tiene una acción de $\Omega B$ $F$ hasta homotopy. Por lo que podemos definir un mapa de $\Omega B \times E \rightarrow F$ como el compuesto de $$\Omega B \times E \stackrel{1 \times s}{\rightarrow} \Omega B \times F \rightarrow F,$$, donde el último mapa es la acción, y pensé en tratar de mostrar que esto induce a isomorphisms en homotopy para, una vez más, una solución de Whitehead.

Como alternativa, podría intentar definir un mapa de $F \rightarrow \Omega B \times E$ y demostrar que es el homotopy inversa de la anterior mapa, pero he llegado un poco de despegar en el intento de hacer esto. No hay ninguna obvio mapa de $F \rightarrow\Omega B$.

He estado luchando con este problema durante los últimos días, y he llegado al punto en que estoy dando vueltas en círculos y de encontrar dificultades para hacer mucho progreso. Lo siento por la mezcolanza de la naturaleza de este post, pero quería explicar las diferentes maneras en que he estado yendo acerca de la solución de este. Voy a dejar en el olvido por unos días, dormir un poco más, y espero volver a ella y la respuesta será obvia --- no se siente como que me estoy perdiendo algo importante que mirándome a la cara. En el ínterin, sin embargo, me encantaría que si alguien pudiera sugerir una sugerencia o dos, o que me haga saber si estoy abordar esta en el camino correcto!

Answer 1

Mi supervisor me señaló en la dirección correcta para la solución, que estoy grabando aquí para la posteridad. (Unsurpringly) implica la acción de $\Omega B$ sobre el homotopy de fibra de $F$, al igual que en el paquete de caso.

Recordar que me había definido un mapa de $\Omega B \times E \rightarrow F$ por la composición de $1 \times s$ con la acción $*$. Ahora, recordando que el producto de dos fibrations es un fibration, tenemos el siguiente diagrama conmutativo de largo exacto de secuencias de homotopy grupos y mapas, entre ellos:

$$\begin{array}{ccccc}\pi_{n+1} E & = & \pi_{n+1} E & = & \pi_{n+1} E \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \pi_{n} \Omega B & \longrightarrow & \pi_{n} \Omega B \times \pi_{n} \Omega B & \longrightarrow & \pi_n \Omega B\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \pi_{n} \Omega B \times \pi_{n} E & \longrightarrow & \pi_{n} \Omega B \times \pi_n F & \longrightarrow & \pi_{n} F \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \pi_{n} E & = & \pi_{n} E & = & \pi_{n} E \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \pi_{n-1} \Omega B & \longrightarrow & \pi_{n-1} \Omega B \times \pi_{n-1} \Omega B & \longrightarrow & \pi_{n-1} \Omega B \end{array}$$

donde el segundo y el quinto filas (a la izquierda) la inclusión y la $H$-la multiplicación del grupo, y en la fila del medio de la homomorphism inducida por el mapa $\ast \circ (1 \times s)$ definido anteriormente. El resultado entonces de la siguiente manera a partir de la 5-lema y Whitehead del teorema.

(Lo siento por el shoddiness del diagrama, no estaba seguro de si este cuadro de texto es xy habilitado o no, así que me quedé con una matriz.)