Como Timoteo Chow señalado, el OP pregunta es, naturalmente, la mayoría de los
formulado como una promesa problema: dado un sistema finito de
ecuaciones y desigualdades en un número finito de variables y la
promesa de que se tiene una solución y, además, de que todas las soluciones
tienen el mismo valor para la variable $\xi$, determinar
ya sea o no que el valor de $\xi$ es racional.
Permítanme mostrarles aquí en diversas formas en que si dejamos caer el
promesa-problema de aspecto del problema, no es decidable.
Teorema. No es computable procedimiento para determinar si
un finito dado el sistema de ecuaciones y desigualdades, permitiendo que el
las operaciones de $+,\cdot,0,1,\sin$, tiene una solución en los reales.
Prueba. Vamos a utilizar las variables $\xi,x_1,\ldots,x_n$ y
otra variable $p$. Insistiendo en que $\sin(p)=0$ e $p>0$, se
puede asegurarse de que $p$ es un número entero múltiplo de $\pi$. Por
insistiendo en que $\sin(x_i\cdot p)=0$, podemos asegurar que cada una de las $x_i$
es un número entero.
De esta manera, podemos transformar cualquier ecuación de diophantine $q(\vec
x)=0$, where $p$ es polinomio en varias variables a lo largo de la
enteros, en un sistema a través de los reales, tal que $q(\vec x)=0$
tiene una solución a través de los enteros si y sólo si el nuevo sistema ha
una solución con respecto a los reales.
Pero es bien conocido consecuencia del teorema de MRDP
que no podemos computably decidir si un determinado diophantine
la ecuación tiene una solución a través de los números enteros (y este fue el
solución de Hilbert 10 de problema). QED
Teorema. No es computable procedimiento para determinar si
un finito dado el sistema de ecuaciones y desigualdades en el
variables $x_1,\ldots,x_n,\xi$, permitiendo que las operaciones
$+,\cdot,0,1,\sin$, tiene al menos un valor racional $\xi$ que es
parte de una solución. Además, este sigue siendo indecidible incluso
dada la promesa de que hay más de un valor de $\xi$ que es
parte de una solución, y que no irracional $\xi$ son soluciones.
Prueba. Para cualquier ecuación de diophantine $q(\vec x)=0$, considere la posibilidad de
el sistema modificado sobre los reales, el uso de la variable adicional
$p$, donde insistimos en que $q(\vec x)=0$ también $\sin(p)=0$,
$p>0$, e $\sin(x_i\cdot p)=0$, que se aseguran de que $p$ es un
positivo múltiplo entero de $\pi$ y que todas las $x_i$'s son
los números enteros. Por último, agregar la ecuación de $\xi=0$.
El original diophantine ecuación tiene una solución a través de los números enteros
sólo en caso de que el nuevo sistema tiene una solución con respecto a los reales, y en
cualquier solución, $\xi$ será racional, porque va a ser $0$.
Por lo que el sistema original tiene una solución a través de los números enteros y si
sólo si el nuevo sistema tiene al menos una solución para que $\xi$
es racional. Así que esto no es decidable. QED
Teorema. No es computable procedimiento para determinar si
un finito dado el sistema de ecuaciones y desigualdades en el
variables $x_1,\ldots,x_n,\xi$, permitiendo que las operaciones
$+,\cdot,0,1,\sin$, tiene más de una racional $\xi$ que es parte de
una solución. Además, este es indecidible en virtud de la
la promesa que hay en la mayoría de los dos valores de $\xi$ que resolver el
sistema, tanto racional.
Prueba. Utilizamos la misma idea, sino que se sustituye la ecuación de $\xi=0$
con la ecuación de $\xi(\xi-1)=0$. Por lo que este sistema no tiene
soluciones o $\xi=0$ e $\xi=1$ son ambas soluciones. QED
Estos teoremas no parecen responder a la pregunta: dado un sistema finito de ecuaciones y desigualdades, y dada la promesa de que no es exactamente un valor de $\xi$ que es parte de una solución, determinar si este valor de $\xi$ es racional o no.
