Algo especial (¿histórico?) sobre la superficie $x\cdot y\cdot z\ +\ x+y+z=0$ ?

Question

PREGUNTA

Quería introducir y desarrollar el logaritmo complejo desde cero. Como resultado he llegado hace un par de meses a la siguiente identidad tras la cual el camino hacia el logaritmo complejo está abierto de par en par:

$$\frac{a-b}{a+b}\cdot\frac{b-c}{b+c}\cdot\frac{c-a}{c+a}\quad +\quad \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\qquad =\qquad 0$$

Esto es válido para cualquier campo, por supuesto, y es una parametrización de la siguiente superficie, llamada   $L$ :

$$x\cdot y\cdot z\ +\ x+y+z\ \ =\ \ 0$$

¿Podría proporcionar alguna referencia e información sobre esta superficie y la fórmula anterior? Un amigo mío con conocimientos en la materia es escéptico respecto a una geométrico interés de esta superficie   $L$ .   Sigo creyendo que de alguna manera   $L$   debe ser interesante cuando se apoya en la base del logaritmo complejo.

---

( Por favor, siéntase libre de eliminar/añadir etiquetas ).

---

Una conexión

( Me refiero a una conexión entre la superficie   $L$   y la función logarítmica compleja. A continuación escribiré de forma un poco menos pedante que en un libro de texto para estudiantes ).

Limitémonos ahora al campo de los números complejos   $\mathbb C$ .   Sea   $a\ b\ c\in\mathbb C^*$ , donde   $\mathbb C^* := \mathbb C\setminus \{0\}$ .   Entonces podemos considerar un bucle lineal a trozos bastante canónico   $\gamma := \overline{abca}$ .   Cuando   $0\notin\triangle(abc)$   (se entiende un triángulo sólido cerrado) entonces queremos demostrar que

$$\int_{\gamma} F = 0 $$

donde   $\forall_{z\in\mathbb C^*}\ F(z):=\frac 1z$ .   Al principio mi objetivo es más modesto. Quiero demostrar que cuando el diámetro del triángulo es mucho menor que   $\max(|a|\ |b|\ |c|)$ (por lo que ya se deduce que   $0$   no pertenece al triángulo) entonces una aproximación burda de la integral es muy pequeña. ¿Cómo de pequeña? Las subdivisiones simpliciales regulares del triángulo conducen a unos   $n^2$   triángulos de diámetro alrededor de   $\frac 1n$ (todo hasta una constante multiplicativa). Nuestra integral anterior es una suma de aproximadamente   $n^2$   integrales sobre los perímetros de todos estos pequeños triángulos (porque los términos que provienen del interior del triángulo original limpiamente anular limpiamente Lo prometo). Así que quiero que las aproximaciones crudas de las integrales sobre los perímetros de los triángulos pequeños converjan a   $0$   más rápido que   $\frac 1{n^2}$ .   Entonces la integral anterior será efectivamente igual a   $0$ .

Dejemos que

$$A :=\frac{b+c}2\qquad B:=\frac{a+c}2\qquad C:=\frac{a+b}2$$

Entonces, una aproximación cruda de la integral anterior sobre   $\gamma$   puede definirse como

$$\Lambda\ :=\ \frac{b-a}C + \frac{c-b}A + \frac{a-c}B$$

Debido a la identidad anterior obtenemos:

$$\Lambda\ =\ \frac 14\cdot\frac{a-b}C\cdot\frac{b-c}A\cdot\frac{c-a}B$$

Una fórmula similar es válida para cada triángulo pequeño de la subdivisión simplicial consecutiva. Cuando el triángulo original   $\triangle(abc)$   es disjunta (fuera) de un disco de radio   $r>0$ , alrededor de   $0$ entonces todos los valores respectivos   $A'\ B' C'$ correspondientes a los triángulos pequeños, tienen módulos mayores que   $r$ . Por lo tanto, la suma de las aproximaciones crudas será de la magnitud alrededor de   $(r\cdot n)^{-3}$ .   Como el número de sumandos es del orden   $n^2$ la suma total será arbitrariamente cercana a   $0$ .

Los términos internos de la suma de las aproximaciones brutas se cancelan (limpiamente :-) porque hemos seleccionado los puntos medios de las aristas de los triángulos. Así, la suma de las aproximaciones brutas de las integrales de los triángulos de una subdivisión se aproxima arbitrariamente bien a la integral original sobre   $\gamma$ .

(Ahora se pueden estudiar las integrales de   $F(z):=\frac 1z$   sobre caminos homotópicos, etc.).

Answer 1

La superficie proyectiva correspondiente $$S: xyz + (x + y + z)w^2=0 \subset \mathbb{P}^3,$$ es una superficie cúbica singular - las superficies cúbicas singulares son especiales. Tiene tres singularidades, cada una de las cuales tiene el tipo de singularidad $A_1$ (esto significa que localmente cada uno tiene la forma $xy + w^2 =0$ ). Estos son los puntos $(1:0:0:0),(0:1:0:0)$ y $(0:0:1:0)$ (nótese que todos ellos se encuentran en el "plano en el infinito", $w=0$ ). La superficie $S$ contiene $12$ líneas ( $6$ de estos son fáciles de encontrar, el otro $6$ más trabajo). Una razón concreta por la que estas superficies son especiales es que la colección de superficies cúbicas proyectivas sobre $\mathbb{C}$ con un tipo de singularidad $3A_1$ forma una familia unidimensional.

Estos datos (y otros) se pueden encontrar en el artículo:

Bruce y Wall - Sobre la clasificación de las superficies cúbicas.

Answer 2

Sólo quería ver cómo era...

---

Ahora se ha añadido el origen y los ejes $\pm 1$ en cada coordenada.