La mitad de orden derivado de la $ {1 \over 1-x }$

Question

Soy nuevo en este "derivada fraccional" concepto y tratar, el uso de wikipedia, para resolver un problema con el medio derivado de la zeta en cero, en este caso con la ayuda de los zeta de Laurent-de expansión.

Parte de esta jugueteando ahora es encontrar el medio derivado $$ {d^{1/2}\over dx^{1/2}}{1 \over 1-x}$$

En primer lugar me gustaría entender, si hay un corto/forma cerrada para este ot si tengo que expresa la fracción como un poder de la primera serie y, a continuación, para diferenciar termwise.

Me gustaría saber el valor en $x=0$.

Answer 1

Usa lo que sabes sobre todo el número de los derivados. Inductivamente, se puede probar $$\frac{d^n}{dx^n}\frac1{1-x}=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$$ Now express $n!$ using the $\Gamma$ function ($\Gamma(n+1)$), and you can extend the definition to non-integral $n$: $$\frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}\frac1{1-x}=\frac{\Gamma(3/2)}{(1-x)^{3/2}}$$ At $x=0$, this is just $\Gamma(3/2)$.

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Para confirmar que este método funciona, se observa que también se puede probar inductivamente $$\begin{align}\frac{d^n}{dx^n}\frac1{(1-x)^{3/2}}&=\frac{\frac{(2n+1)!}{4^n\cdot n!}}{(1-x)^{n+3/2}}\\&=\frac{\frac{\Gamma(2n+2)}{4^n\Gamma(n+1)}}{(1-x)^{n+3/2}}\end{align}$$ and extend to nonintegral $n$, so that $$\begin{align}\frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}\frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}\frac1{1-x}&=\frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}\frac{\Gamma(3/2)}{(1-x)^{3/2}}\\&=\frac{\Gamma(3/2)\frac{\Gamma(3)}{2\Gamma(3/2)}}{(1-x)^{2}}\\&=\frac{\frac{2!}{2}}{(1-x)^{2}}\\&=\frac{1}{(1-x)^2}\\&=\frac{d}{dx}\frac{1}{1-x}\end{align}$$ y todo es como debe ser.

Answer 2

$$\frac{d^k}{dx^k} \left(\frac{1}{1-x} \right)=\frac{d^k}{dx^k} (1+x+x^2+...)=\Gamma(k+1) \sum_{n=k}^{\infty} {n\elegir k}x^{n-k}\\ \sum_{n=k}^{\infty} {n\elegir k}x^{n-k}=\frac{1}{(1-x)^{k+1}}\\ \frac{d^k}{dx^k} \frac{1}{1-x}=\frac{\Gamma(k+1)}{(1-x)^{k+1}}$$

Answer 3

Ver Referencia para una solución completa del problema de la diferenciación y la integración de la real orden de los racionales de polinomios.

Planteamientos formales a la derivada fraccional: Existen varias definiciones de derivada Fraccional. El más ampliamente conocido es el de la de Riemann-Liouville derivada fraccional

$$ f^{(p)}(x) = \frac{1}{\Gamma(k-q)} \frac{d^k}{dx^k} \int_{a}^{x}\, (x-t)^{k-p-1}\,f(t)\,dt\>, \quad (k-1 < q < k )\,, $$

y de acuerdo a esta definición tendrá la siguiente respuesta

$$ f^{\left(\frac{1}{2}\right)}(x)={\frac {{_2F_1\left(1,1;\,\frac{1}{2};\,x\right)}}{\sqrt {x}\sqrt {\pi }}}, $$

donde $ _2F_1 $ es la función hipergeométrica. El límite de la función anterior como $x\to 0^+$ va al infinito. Sin embargo, hay otra definición conocido como el Caputo definición y se define como

$$ f^{(p)}(x) = \frac{1}{\Gamma(k-q)} \int_{a}^{x}\, (x-t)^{k-p-1}\,\frac{d^k}{dt^k}f(t)\,dt\>, \quad (k-1 < q < k )\,, $$

y esta definición se dará una respuesta diferente, a saber,

$$ f^{\left(\frac{1}{2}\right)}(x) = {\frac {1}{\sqrt {\pi } \left( x-1 \right) ^{3/2}}} \left( {\it \rm arctanh} \left( {\frac {\sqrt {x}}{ \sqrt {x-1}}} \right) -\sqrt {x}\sqrt {x-1}\right), $$

y el límite en este caso va a $0$.

Nota: El método más sencillo para su problema se resume en los pasos

1) Calcular la serie de Taylor de la función,

2) el Uso de la Fórmula

$$ \frac{d^q}{dx^q} x^m = \frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(m-q+1 )} x^{m-q}\,, $$

que corresponde a la de Riemann-Liouville definición de la función $x^m$, o la fórmula (2.29), página 15 , que corresponde a Caputo definición.

Ver aquí para ver el poder de la serie técnica.