Lo que hago "en función de" y "se diferencian con respecto a la" media?

Question

En matemáticas y ciencias, veo las frases "en función de" y "respecto a" la utilizan mucho. Por ejemplo, uno podría decir que $f$ es una función de $x$, y luego se diferencian $f$ "con respecto a $x$". Estoy familiarizado con la definición de una función y la derivada, pero realmente no me queda claro qué es una función de algo que es, o por qué tenemos que decir "con respecto a". Me parece todo esto un poco confuso, y se me hace difícil seguir los argumentos a veces.

En mi investigación, he encontrado este, pero las respuestas no son lo que estoy buscando. Las respuestas parecían discutir bien qué función se, pero yo sé lo que una función es. También estoy satisfecho con la sugerencia de que $f$ es una función de $x$ si nos limitamos a la etiqueta de su argumento como $x$, ya que las etiquetas son arbitrarias. Yo podría escribir $f(x)$ para un cierto valor en el dominio de $f$, pero no igual de bien escribir $f(t)$ o $f(w)$ lugar?

Para ilustrar mi confusión con un ejemplo concreto: considerar la cantidad acumulativa de la cera quemada, $w$ como una vela se quema. En una imagen simple, podríamos decir que el $w$ depende de la cantidad de tiempo en el que la vela se ha quemado, y así nos podría decir algo como "$w$ es una función de tiempo". En esta sencilla imagen, $w$ es una función de una sola variable real.

Mi confusión es, ¿por qué realidad nos dice que $w$ es una función del tiempo? Seguramente $w$ es sólo una función en algún subconjunto de los números reales (según específicamente en cómo elegimos para definir $w$), en lugar de una función de tiempo? Seguro, $w$ sólo tiene la interpretación que pensamos que lo hace (cantidad acumulativa de la cera quemada) cuando la prestación de una vez como su argumento, pero ¿por qué ese significa que es una función del tiempo? No hay nada que me impida de poner cualquier argumento (siempre $w$ está definida en ese punto) a $w$, como la distancia que he caminado desde la vela estaba encendida. Seguro, que realmente no puede interpretar $w$ de la misma manera, si yo hice esto, pero no hay nada en la definición de $w$ que me detiene de hacer esto.

También, ¿qué pasa cuando tengo que hacer alguna diferenciación en $w$. Si puedo diferenciar $w$ "con respecto al tiempo", entonces me gustaría obtener la tasa de tiempo en el que la vela se está quemando. Si puedo diferenciar $w$ "con respecto a" la distancia que he caminado desde la vela estaba encendida, me gustaría esperar a obtener cero (desde $w$ no es una función de esto), o algo más complicado (ya que la distancia que he caminado está relacionada con el tiempo). No puedo ver matemáticamente lo que está sucediendo aquí: en última instancia, no importa lo que estamos llamando a nuestras variables, $w$ es una función de una sola variable, no de varios, y así no hay absolutamente ninguna ambigüedad en la manera de diferenciar $w$? No sólo hay que ser "la derivada de w", que se encuentra por la diferenciación $w$ con respecto a su argumento (la escritura "con respecto a su argumento" es redundante!).

Alguien puede ayudar a aclarar lo que queremos decir por "función de" como contraposición a la función, y cómo esto es importante cuando podemos diferenciar las funciones "con respecto a" algo? Gracias!

Answer 1

Excelente pregunta. Ya hay buenas respuestas, voy a intentar hacer un par de, puntos concisos.

Ser agradable a tus lectores

Usted debe tratar de ser agradable con la gente de la lectura y el uso de sus definiciones, incluyendo su futuro. Esto significa que usted debe pegarse a los convenios cuando sea posible.

Los nombres de las variables implica dominio y codominio

Si usted escribe que "$f$ es una función de $x$", los lectores se supone que significa eso $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$.

Del mismo modo, si usted escribe $f(z)$ va a implicar que $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$, e $f(n)$ podría ser para $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}$.

No estaría mal para definir $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ como $f(n)= \frac{in+1}{\overline{n}-i}$ pero sería sorprendente y podría dar lugar a suposiciones incorrectas (por ejemplo, $\overline{n} = n$).

Libre y variables vinculadas

Usted podría estar interesado en saber la distinción entre libres y variables vinculadas.

$$\sum_{k=1}^{10} f(k, n)$$

$n$ es una variable libre y $k$ es una variable ligada, por lo que el valor de esta expresión depende del valor de n, pero no hay nada llama $k$ sobre los que podría contar.

He aquí una relacionados con la respuesta de StackOverflow.

"Todos los modelos están equivocados, algunos son útiles", de George Cuadro

Su simplificado cantidad de cera quemada como una función del tiempo es probablemente equivocado (no se puede saber perfectamente o describir el estado de cada átomo), pero se puede al menos ser útil.

La cantidad de cera quemada como una función de "la distancia que ha caminado desde la vela fue encendida" será aún menos correcto y mucho menos útil.

Variable física de los nombres tienen un significado

Física de los nombres de las variables no son sólo los marcadores de posición. Están vinculados a las magnitudes físicas y unidades. La sustitución de $l$ por $t$ como un nombre de variable para una función que no sólo será sorprendente para los lectores, va a romper la homogeneidad dimensional.

Answer 2

Técnicamente, sistemáticamente no se puede decir que $f$ es una función (en el sentido moderno) y, sin embargo, decir que $f$ es una función de $x$. Este tipo de inconsistencia parece haber surgido cuando algunas personas subieron descuidado y combinado el mayor sentido de la "función" con el sentido moderno.

En el viejo sentido, decimos "$y$ es una función de $x$" significa que "en todas las situaciones en las $x,y$ se definen, para cada posible valor de $x$ no es un valor específico de $y$". En términos modernos, esto significa que "existe una función de $f$ tal que $y = f(x)$ para todos los $x∈D$ donde $D$ es el dominio de valores posibles de $x$ bajo consideración". En el mayor uso de la función "de", una asignación fue concebido sólo a existir entre las variables; no existe por sí mismo. En otras palabras, "la función de la" era una relación entre las variables y expresiones con variables.

Tenga en cuenta que este uso de "variable", es el más antiguo de sentido, no de la más reciente de la moderna lógica. También tenga cuidado de no confundir las variables, en este sentido, con simples números. Si $x,y$ son simples números reales, entonces no podemos decir algo como "$y$ es una función de $x$". El concepto de "función de" sólo se hace en relación a las variables (literalmente cantidades variables). Si $x$ es $f$ es una función de los reales, a continuación, $f(x)$ es sólo otro real, no una función, ni una función de cualquier cosa. Pero si $x$ es una variable, entonces $f(x)$ es también una variable y es, literalmente, una función de $x$.

En la más reciente sentido, no hacemos uso de la frase "la función de" porque nos han llegado con el concepto abstracto de "función" como objetos en su propio derecho. En otras palabras, la "función" es un tipo de objetos. Si tenemos una función de $f : S→T$, a continuación, $f$ es un mapeo de $S$ a $T$, y no el resultado de la aplicación de que la asignación a algún objeto en $S$.

Tenga en cuenta que los dos sentidos no son incompatibles; sólo tienes que utilizar con precisión. Para tomar su ejemplo, considere la combustión de una vela. Deje $h$ ser la altura de la vela, y $w$ la cantidad de cera que quedan en la vela. A continuación, $h,w$ son variables y pueden variar a lo largo del tiempo. Es pues natural que deje $t$ ser la variable que denota el tiempo. Podemos válidamente decir que $w$ es una función de $h$, lo que significa que hay una cierta función de $f$ tal que $w = f(h)$ por cada $h∈[0,H]$, donde $H$ es la altura inicial de la vela. También podemos pedir a los derivados de $w$ con respecto al $h$, que se denota por $\frac{dw}{dh}$. En términos modernos, se puede preguntar por la derivada de $f$, que se denota por $f'$. Pero aquí estamos preguntando por la derivada de la expresión $w$, y así es de hecho necesario especificar con respecto a qué variable. Tenga en cuenta que la misma variable $w$ también puede ser un (diferentes) en función del tiempo $t$.

Hay muchas ventajas de utilizar una formalización de la diferenciación que incluye la notación de Leibniz, es decir, la notación "$\frac{dy}{dx}$" (no una fracción) para los derivados de $y$ con respecto al $x$. Una de ellas es que hechos como la regla de la cadena puede ser probado de una manera natural sin sacrificar el rigor. Y como un ejemplo de aplicación a la quema de la vela anterior, si $\frac{dw}{dh}$ e $\frac{dh}{dt}$ se define, entonces, por la regla de la cadena tenemos $\frac{dw}{dh} · \frac{dh}{dt} = \frac{dw}{dt}$. Otra es que podemos pensar en el gradiente de curvas paramétricas incluso en los puntos donde la curva no es localmente bijective (ver el segundo ejemplo aquí).

Una tercera ventaja es que en las ciencias físicas es típico tener implícito de las relaciones, donde estamos interesados en ciertas variables y cómo varían con respecto a la otra, aunque en un experimento, las variables que varían con el tiempo. Por ejemplo, en una titulación, podemos estar interesados en el punto donde los cambios de pH más lentamente con respecto a titrante cantidad (ver este post para más detalles), a pesar de que durante la actual titulación tanto el pH y titrante cantidad que varía con el tiempo. Conceptualmente, es más elegante para el tratamiento de estas variables en lugar de uno como ser la salida de una función sobre las otras.

Answer 3

Esta es una respuesta parcial de la reflexión de un comentario de los suyos debajo de su post original:

Así que lo que me confunde es por eso que nos preocupamos por lo que las etiquetas son. Entendí que cuando escribimos $f(x)=x^2$, estamos diciendo algo a lo largo de las líneas de "$f$ es una función de los cuadrados que su argumento", y que $x$ realmente no 'existe', por así decirlo, fuera de la definición de $f$. Pues pensaba que pensamos de funciones como objetos independientes de lo que hemos llamado sus variables, ¿por qué no tenemos $f(t)=t^2$? Y ¿por qué importa lo que llamamos algunos $x$ fuera de la definición de $f$?

^{Fuente: comentario de Deeside}

Entiendo totalmente tu punto de vista. Ver funciones como objetos con dos rasgos:

• ellos tienen un tipo, por ejemplo, $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
• ellos permiten que la función de la aplicación, por ejemplo, $f x$ si $x \in \mathbb{R}$

Por lo tanto, como no hay absolutamente ninguna noción de argumento nombres de los involucrados, no se puede simplemente decir $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$. En su lugar, uno debe decir $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}1}$, es decir, que podemos diferenciar wrt. el primer argumento. De hecho, he visto a algunas personas hacen esto con la notación $\partial_1 f$ o $f_1$. Si la función tiene un solo argumento, entonces también podemos introducir la notación $f'$ a de pie para la diferenciación wrt. a la obvia y solo argumento.

Sin embargo, no estoy seguro de si ese punto de vista simplista de "posicional diferenciación"¹ es útil, dicen útil para la formalización de la matemática en los sistemas informáticos. Los matemáticos hacen uso de "nombre de la diferenciación"¹ así, por lo que nuestra formalización de las herramientas y su lógica subyacente debería apoyar esto.

No estoy seguro de cómo las actuales bibliotecas de Coq, Isabelle y otros identificador de llamada diferenciación — en todo caso. Tal vez alguien puede comentar sobre esto.

Hasta que, me gustaría presentar cómo actualmente yo creo que de nombre diferenciación en mi cabeza: la función de los objetos, además de los rasgos anteriores tienen un bijective mapa de $\text{positions} \leftrightarrow \text{argument names}$. E. g. $f$ tendría el mapa de $\{1 \leftrightarrow \text{"}x\text{"}\}$. Podría ver esto como una parte opcional de tipos de función. Entonces, la expresión de $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ está bien escrito el fib. el tipo de $f$ tiene un mapa y que el mapa contiene una entrada para $\text{"}x\text{"}$.

Me parece también que la de otros enfoques en las otras respuestas me desnatada más interesante. El todo-es-una-variable de enfoque me recuerda a la teoría de la probabilidad y variables aleatorias. Allí, al azar varibles también se acaba de definir sobre la marcha como $X := Y + Z$ y, a continuación, acabamos de escribir $\mathrm{Pr}[X]$, donde la probabilidad es implícitamente asumido todo el argumento del "dependencias" de $X$.

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¹ acabo de hacer estos términos.