En un comentario a François de la respuesta, he de decir que al menos $\alpha$ tal que $L_\alpha$ es un modelo de $\mathsf{ZFC}$ es contable. En lo que sigue, "modelo" que significa "modelo transitivo de $\mathsf{ZFC}$."
Si $M$ es transitiva, entonces $L^M=L_\beta\models\mathsf{ZFC}$ para $\beta=\mathsf{ORD}\cap M$, por lo que la altura mínima de un modelo contable. Por otra parte, cualquier modelo de $M$ demuestra que hay un bijection entre cada nivel de su jerarquía acumulativa, y uno de sus ordinales, por lo que si $M$ tiene la altura $\kappa$, por lo que es $\kappa$ su tamaño. Esto demuestra que la existencia de un modelo no implica la existencia de un sinnúmero de uno: Si $M$ tiene menos altura, vamos a $\alpha_0$ ser menos que $L_{\alpha_0}$ es un modelo, y $\alpha_0$ es mayor que la altura de $M$ ($\alpha_0$ podría ser $\mathsf{ORD}$). Vemos que en $L_{\alpha_0}$ la altura de $M$ es contable y no existen modelos de altura mayor que la altura de $M$.
Asaf preguntó si esto se generaliza, es decir, si para cada una de las $\kappa$ la existencia de modelos de tamaño $\kappa$ no implica la existencia de modelos de mayor tamaño. Que este es el caso de la siguiente manera de extender el argumento de que el párrafo anterior: Vamos a $L_\alpha$ ser un modelo de altura (y tamaño) $\kappa$, y deje $\alpha_0$ ser tal que $\alpha<\alpha_0$ e $L_{\alpha_0}$ es un modelo. Podemos muy bien suponer que los $\alpha_0$ existe (que es, es un ordinal), o de lo contrario no hay nada que demostrar. Ahora vamos a $X$ ser una primaria de la subestructura de $L_{\alpha_0}$ contiene tanto $L_\alpha\cup\{L_\alpha\}$ (como un subconjunto) y un bijection entre el $\alpha$ e $|\alpha|^{L_{\alpha_0}}$, y de tamaño $\kappa$, que existe una aplicación estándar de la Lowenheim-Skolem argumento. El colapso transitivo de $X$ es $L_\beta$ para algunos $\beta$, y tiene el tamaño de $\kappa$. Esto significa que si $\alpha_0$ es de menos (por lo que el colapso de $X$ es de nuevo $L_{\alpha_0}$), a continuación, $L_{\alpha_0}$ es un modelo de $\mathsf{ZFC}$ además de la afirmación de que no hay un conjunto de modelos de la altura (y por lo tanto el tamaño) de más de $|\alpha|=\kappa$.
Sin elección, no sé si los modelos de $\mathsf{ZF}$ de la altura de la $\kappa$ debe tener el tamaño de $\kappa$.
[Edit: En respuesta a la última en el párrafo anterior, Joel y Asaf señaló algunos de los resultados. Estoy incluyendo aquí, para aumentar la visibilidad.]
En
Ali Enayat. Los modelos de la teoría de conjuntos con definibles ordinales, Arq. De matemáticas. La lógica 44 (3), (2005), 363-385. MR2140616 (2005m:03098),
Ali se analizan algunos resultados sobre modelos transitivos de $\mathsf{ZF}$ que muestran que la situación es mucho más sutil que en la presencia de elección. Uno de los más increíbles resultados es debido a Friedman, en
Harvey Friedman. Los modelos grandes de contables de altura, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 201 (1975), 227-239. MR0416903 (54 #4966).
Permítanme citar de Harvey de papel:
Los primeros ejemplos de modelos transitivos de $\mathsf{ZF}$ de la energía, $\omega_1$ con countably muchos ordinales fueron construidos por Cohen. Más tarde Easton, Solovay y Sacos demostraron que cada contables transitiva modelo de $\mathsf{ZF}$ tiene un ordinal-la preservación de la extensión de la satisfacción de $\mathsf{ZF}$, de poder $2^{\omega}$. Demostramos aquí que cada contables modelo transitivo $M$ de % de $\mathsf{ZF}$ tiene un ordinal preservación de la extensión de la satisfacción de $\mathsf{ZF}$, de poder $\beth_{M\cap\mathsf{ORD}}$.
Harvey, el argumento de los usos forzar. Para su primer resultado, dado $M$ una contables transitiva modelo de $\mathsf{ZF}$, dice que $x\subset\omega^\omega$ es $M$-genérico iff cualquier secuencia finita de elementos distintos de $x$ es $M$-genérico (para el producto de un número adecuado de copias de Cohen obligando a), $x$ es infinito, y densa. Los modelos que construye son de la forma$M(x)$, por lo que, en particular, son transitivos. Él muestra que hay $M$-genéricos $x$ de tamaño continuo con $M(x)$ un modelo de $\mathsf{ZF}$ (e $M(x)$ tiene la misma altura de $M$). Él, a continuación, se basa en la maquinaria introducido aquí, y demuestra que, comenzando con un $M$-genérico $x$, una familia de conjuntos $C_\alpha$, $\alpha\lt M\cap\mathsf{ORD}$, se puede encontrar con $|C_\alpha|\ge\beth_\alpha$, y de tal manera que $M[(C_\alpha)_\alpha]$, correctamente definido, es un modelo de $\mathsf{ZF}$ de los reclamos de tamaño.
Ali se basa en los resultados de esta para producir París modelos de $\mathsf{ZF}$, es decir, los modelos de $M$ cuyos ordinales son de primer orden definible en $M$. En un trabajo previo, había demostrado que a partir de la suposición de que $L$ cumple que existen innumerables modelos transitivos de $\mathsf{ZFC}$, se deduce que hay unboundedly muchos $\alpha<\omega_1^L$ tal que $L_\alpha$ es de París. Él muestra que desde la misma asunción, tenemos que por cada infinitas $\kappa$ hay de París modelos de $\mathsf{ZF}$ del tamaño de la $\kappa$; este se utiliza para Harvey el resultado, desde genérico (o, simplemente, ordinal conservación) extensiones de $L_\alpha$ son de París si $L_\alpha$ sí es París. De ello se deduce que existe una completa extensión de $\mathsf{ZF}$ admiting en $L$ París modelos de tamaño $\beth_\alpha$ para cada uno de los contables de $\alpha$. La teoría, incluyendo el requisito de que sus modelos son de París, puede ser descrito en $L_{\omega_1\omega}$. Desde el Hanf número de esta lógica es $\beth_{\omega_1}$, el resultado de la siguiente manera.
Esto produce grandes modelos transitivos de hecho, en vista de un resultado de París: Si una terminación $T$ de % de $\mathsf{ZF}$ tiene una bien fundada el modelo, luego cada París modelo de $T$ está bien fundada.
Como señaló Mohammad aquí, Solovay de la construcción en la que se hace referencia en Friedman respuesta (y una clara influencia en el argumento de Friedman) se puede encontrar en
Ulrich Felgner. La elección de las funciones de conjuntos y clases. En los Conjuntos y clases (en la obra de Paul Bernays), pp 217-255. Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas., Vol. 84, North-Holland, Amsterdam, 1976. MR0424566 (54 #12525).
