El "verdadero" tamaño de la recta real, $\mathbb{R}$, ha sido el tema del primer problema de Hilbert. Debido al trabajo de Goedel y Cohen en los modelos internos y externos de $\text{ZFC}$, resultó ser indecidible basado en el conjunto actual de los axiomas de las matemáticas.
Sin embargo, como Woodin afirmó en una discusión en un panel, este resultado de independencia puede indicar que hay algunos principios matemáticos faltantes que necesitan ser descubiertos y agregados a $\text{ZFC}$ para darnos suficientes herramientas matemáticas para resolver la cuestión del verdadero tamaño del continuo de la "manera correcta". Por lo tanto, en cierto sentido, el primer problema de Hilbert aún está abierto y la búsqueda de una respuesta a la pregunta de determinar el verdadero tamaño del conjunto de números reales aún está en curso.
Vale la pena mencionar que entre varios valores transfinitos que $|\mathbb{R}|$ puede tomar hasta la consistencia, teóricos de conjuntos han aislado uno particularmente especial, a saber, $\aleph_2$, como el más probable valor para el continuo.
A menudo se dice que tanto Goedel como Cohen favorecieron $\aleph_2$ como el "verdadero" tamaño del continuo, pero no he visto ninguna referencia directa a alguna cita original de ellos sobre esto. En el caso de Cohen, que tenía un sólido background en análisis (principalmente relacionado con la Conjetura de Littlewood), es particularmente importante saber si su elección de $\aleph_2$ (si es real) se basaba en un posible entendimiento profundo de la maquinaria matemática en análisis o no.
Pregunta 1. ¿Cuáles son las referencias a algunos trabajos originales/entrevistas de Goedel y Cohen en los que expresaron claramente su opinión sobre el verdadero tamaño del continuo? ¿Cuáles fueron sus razones para creer en un valor específico para $|\mathbb{R}|$?
A pesar de esto, la historia de considerar $|\mathbb{R}|=\aleph_2$ va más allá de simples especulaciones de Goedel y Cohen. De hecho, hay algunos teoremas matemáticos que podrían interpretarse como una justificación para tal suposición.
Por ejemplo, el argumento de lógica $\Omega$ de Woodin a favor de $2^{\aleph_0}=\aleph_2$ inicialmente lo convenció de que $\aleph_2$ es el verdadero valor del continuo, sin embargo, más tarde cambió de opinión a favor del principio $L$ último que implica $2^{\aleph_0}=\aleph_1$. Además, algunos axiomas de forcing como PFA y Máximo de Martin (que resuelven exitosamente muchas afirmaciones independientes de matemáticas ordinarias) directamente implican el valor $\aleph_2$ para el continuo. Aquí surge la siguiente pregunta natural:
Pregunta 2. ¿Cuáles son algunos otros ejemplos de evidencia matemática que respaldan $|\mathbb{R}|=\aleph_2$? ¿Quizás hay alguna maquinaria en ciertas partes de las matemáticas que funcionan de manera más suave si se asume $2^{\aleph_0}=\aleph_2$ en lugar de $\aleph_1$ u otra cardinal $\geq\aleph_3$? ¿Quizás algunos objetos matemáticos (incluyendo la recta real en sí misma) comienzan a comportarse "bien" o demuestran algunas "propiedades de regularidad" si el continuo es exactamente $\aleph_2$?
Por favor proporcione referencias a los resultados (y citas de matemáticos) si las hay. Se reciben con especial interés evidencias de disciplinas matemáticas que no sean teoría de conjuntos.
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Re: Woodin cambiando de opinión, creo que la tesis de Sargsyan mostró que había una seria falla en ese enfoque; tal vez alguien familiarizado con la teoría de modelos internos pueda comentar (o corregirme)? Por cierto, tengo entendido que Cohen dijo todo lo contrario: que él tendía hacia el continuo siendo bastante grande, por ejemplo, por encima de la primera inaccesible débil. Y en cuanto a la pregunta 2, los axiomas de fuerza fuerte implican $2^{\aleph_0}=\aleph_2$ y otorgan propiedades agradables al continuo.
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@NoahSchweber En cuanto a Cohen, también he escuchado dos historias diferentes (es decir, $|\mathbb{R}|=\aleph_2$ o muy grande). No estoy seguro cuál es la versión históricamente exacta ¡por eso pregunté por referencias fiables aquí! ¡Quizás al igual que Woodin, él también cambió de opinión en algún momento! De todos modos, no estoy seguro.
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Ahora que lo recuerdo, no estoy realmente seguro de que la pregunta Q2 sea lo suficientemente diferente de esta antigua pregunta.
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@NoahSchweber La diferencia esencial es que me estoy enfocando especialmente en la suposición $2^{\aleph_0}=\aleph_2$ y cómo afecta a la maquinaria matemática y los teoremas en y fuera de la teoría de conjuntos. La pregunta no trata en realidad sobre cuál podría ser el valor verdadero del continuo, sino sobre toda la evidencia matemática que puede justificar y respaldar una elección particular del tamaño del continuo, es decir, $\aleph_2$, que debido al consenso común en (al menos la parte de) la comunidad de teoría de conjuntos se considera el valor más probable de $|\mathbb{R}|$. Me pregunto qué tan justificado está matemáticamente.
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Siguiendo con respecto a Woodin: de esta respuesta y sus comentarios adjuntos creo que el problema fue que parte del "$\Omega$-programa" de Woodin se basaba en la afirmación de que a partir de la $\Omega$-conjetura se sigue que el conjunto de $\Omega$-valideces es definible en (o alrededor de) $H(\mathfrak{c}^+)$. Esta afirmación, o más bien el argumento que se dio para ello, estaba defectuoso, y esto fue demostrado en la tesis de Sargsyan. Mientras tanto, creo que las respuestas allí dicen un poco sobre por qué $\aleph_2$ también es atractivo, especialmente la de Justin Moore.
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De las respuestas a esa pregunta también obtenemos Cohen sobre el valor del continuo.
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@NoahSchweber (+1) ¡Interesante! ¡Así que no es verdad atribuir la "creencia común" teórica de conjuntos, $2^{\aleph_0}=\aleph_2$, a Cohen! Aunque, en el caso de Gödel, estoy casi seguro de que en algún lugar expresó tal opinión a favor de la creencia común. Por cierto, gracias por las explicaciones sobre el enfoque lógico $\Omega$ de Woodin.
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Justin Moore tiene un artículo sobre este tema en particular: What makes the continuum $\aleph_2$
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Me haces dudar de lo que me entrenaron (no soy un lógico). ¿Confirmas que, en cualquier contexto, $|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}$?