Aplicaciones inesperadas del teorema de Dvoretzky

Question

Teorema de Dvoretzky es un clásico de la geometría convexa. Recientemente, en una conferencia sobre información cuántica, me enteré (por la charla de Patrick Hayden) de una aplicación no trivial del teorema a un problema de criptografía cuántica (que ya se había resuelto anteriormente, pero con herramientas más complicadas). ¿Cuáles son las aplicaciones inesperadas del teorema de Dvoretzky de las que has oído hablar, si es que hay alguna?

(por "inesperado" me refiero a aplicarlo a un problema que no está directamente relacionado con la geometría convexa, el análisis funcional, etc., o quizás sí lo está, pero requiere plantear el problema en un lenguaje diferente de forma no obvia)

Answer 1

Conozco la aplicación inesperada de un teorema de tipo Dvoretzky (aunque no el teorema de Dvoretzly propiamente dicho) a la teoría combinatoria de los politopos convexos.

Un teorema de Figiel, Lindenstrauss y Milman afirma que para politopos arbitrarios d-dimensionales centralmente simétricos P que para alguna constante absoluta $\gamma$ . $$\log f_0(P) \log f_{d-1}(P)\ge \gamma d.$$ (Aquí, $f_0(P)$ es el número de vértices de $P$ y $f_{d-1}(P)$ es el número de facetas). Esto se deriva de una relación similar entre la dimensión de una sección esférica de $P$ y la de $P*$ . El teorema de Dvoretzky afirma que podemos encontrar una sección esférica log d dimensional y Fiegil-Lindenstraus-Milman demostró que podemos encontrar una sección esférica k dimensional para $P$ y una sección esférica de m dimensiones para $P^*$ tal que $mk \ge \gamma' d$ . No conozco una prueba diferente para este teorema.

Una aplicación famosa de otro teorema de tipo Dvoretzky es el trabajo de Bourgain y Milman sobre la conjetura de Mahler que derivan una desigualdad relacionada basada en un teorema de Milman que afirma que un subcociente esférico de $\delta d$ dimensión siempre existe.

Answer 2

Lindenstrauss y Tzafriri demostraron que un espacio de Banach en el que cada subespacio cerrado se complementa debe ser isomorfo a un espacio de Hilbert. El teorema de Dvoretzky fue un ingrediente clave en su demostración (y no se conoce ninguna prueba esencialmente diferente).

Davis y yo demostramos que si un espacio de Banach tiene tipo no trivial (lo que equivale a decir que $\ell_1^n$ no se incrusta uniformemente en el espacio) entonces existe un operador compacto no nuclear en el espacio. (Un ejemplo de Pisier sugiere que se necesita la suposición de tipo no trivial, pero eso sigue siendo un problema abierto. K. John observó que su espacio $X$ tiene la propiedad de que todo operador compacto de $X$ en su dual es nuclear).

Answer 3

La que menciona Gil Kalai es la mejor.

Aquí hay un par de aplicaciones más, aunque no son realmente aplicaciones del teorema de Dvoretsky per se.

Topología algebraica: Milman (¿o Gromov? ¿o Makeev?) se dio cuenta de que el teorema de Dvoretsky se desprende de la conjetura (que ahora se sabe que es falsa) de Knaster en topología algebraica, de hecho la conjetura implica una enorme mejora en el límite de la dimensión de las secciones casi esféricas del teorema de Dvoretsky. (La dependencia de d es estrecha, pero la dependencia de épsilon es bastante mala). Lo que terminó sucediendo es que un contraejemplo a la conjetura de Knaster viene de la geometría convexa. Es un resultado de Kashin y Szarek. Pero hay versiones débiles de la conjetura de Knaster que podrían ser ciertas. Hay algunos resultados relacionados recientes de Karasev y Dolnikov y no tan recientes de Burago (el conocido como falso, llamado teorema topológico de Dvoretsky).

Hay un par de versiones no lineales del teorema de Dvoretsky, una de Bourgain, Figiel y Milman, y otra reciente conjeturada por Tao y demostrada por Naor y Mendel.

Informática: El teorema de Dvoretsky no lineal finito dice que cualquier espacio finito contiene grandes subespacios que se incrustan en $l_2$ con baja distorsión (cuando la distorsión es de más de 2 o 3 se pueden encontrar realmente subespacios de tamaño polinómico, mientras que si se insiste en $1+\epsilon$ distorsión entonces el tamaño es logarítmico). En "Ramsey partitions and proximity data structures", Naor y Mendel encontraron algunas aplicaciones los árboles de partición de Calinescu, Karloff y Rabani adaptados para este teorema a las "estructuras de datos de proximidad" de Thorup y Zwick (CS).

Geometría métrica: El teorema de Dvoretsky afirma que cualquier espacio compacto contiene subespacios de gran dimensión de Hausdorff que se incrustan con distorsión constante en una ultramétrica. (En realidad todas las versiones no lineales factorizan el mapa en el espacio de Hilbert a través de una ultramétrica que se incrusta isométricamente en el espacio de Hilbert, esta idea es de Linial, Bartal, Naor y Mendel - creo). Con este resultado, Naor observó que para cualquier espacio compacto de dimensión Hausdorff mayor que n existe un mapa suryectivo de Lipschitz a la bola unitaria de n dimensiones del espacio euclidiano. (¿Por qué? Esto era fácil de ver).

A menudo me he preguntado por un teorema de tipo Dvoretsky para las variedades riemannianas. Diez puntos para una buena conjetura.

Answer 4

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach y $I: X \to X$ sea el operador de identidad. A partir del teorema de Dvoretzky, para cualquier $\varepsilon > 0$ y un número entero positivo $n$ existe un subespacio $X_n \subset X$ tal que $d(X_n, \ell^2_n) < 1+\varepsilon$ . Entonces el operador $I|X_n$ es "similar" al operador de identidad $\ell^2_n \to \ell^2_n$ . Esto significa que localmente las propiedades que no son verdaderas para el operador de identidad $\ell^2 \to \ell^2$ tampoco son ciertas para el operador de identidad en cualquier espacio de Banach.

Por ejemplo, el operador de identidad $I$ no es $(q,1)$ -sumando para $q<2$ (y no $q$ -sumando para cualquier $q \in [1, +\infty)$ .

Perdón por mi inglés.

Answer 5

Una aplicación exótica a la cosmología fue sugerida por K. Villaverde, O. Kosheleva y M. Ceberio, Por qué las restricciones elipsoidales, las agrupaciones elipsoidales y el espacio-tiempo riemanniano: El teorema de Dvoretzky revisado .

La cosmología moderna afirma que el espacio-tiempo es de alta dimensión con alguna métrica compleja. Sin embargo, observamos una métrica localmente euclidiana en nuestro mundo de cuatro dimensiones. El teorema de Dvoretzky explica este fenómeno: observamos una sección de una una bola unitaria convexa de alta dimensión, y dicha sección se aproxima a un elipsoide, lo que implica una métrica localmente euclidiana.