Número de ceros en 100 factorial

Question

Estaba en Math.Stack Exchange el otro día y encontré una pregunta que decía:

¿Cuántos ceros hay en 100! ?

Rápidamente lo descompuse y dije que había 24 ceros. Sin embargo, esos son solo los ceros finales, como rápidamente señaló la persona que hizo la pregunta. Con el paso de los días, nadie respondió la pregunta. Mi pregunta es la siguiente: ¿hay un método para averiguarlo sin tener que calcular toda la respuesta? Inicialmente pensé que se podía resolver usando muchas propiedades de divisibilidad, pero no logré encontrar nada.

Answer 1

Usando aproximaciones conocidas para la longitud y número de ceros finales de n!, y haciendo la suposición razonable de que los ceros internos aparecen con una frecuencia $\frac{1}{10}$, obtenemos la siguiente aproximación del número total de ceros, t, en n!:

$t = \lfloor \frac{1}{10}(\frac{\log (2 \Pi n)}{2}+n\log (\frac{n}{e})- \frac{n}{4}+ \log(n)) + \frac{n}{4} - log(n)\rfloor $

Lo cual se simplifica a:

$t = \lfloor \frac{n (9 \ln (10)-4)+4 (n-9) \ln (n)+2 \ln(2 \Pi n)}{40 \ln(10)} \rfloor$

Esta aproximación parece funcionar bien para n de al menos 10,000.

100!, con una longitud de dígitos de 158, tiene menos ceros internos, 6, con 24 finales, que la expectativa normal para un total de 30, con t=36.

98! es "cero-perfecto", es decir, los ceros internos aparecen con una frecuencia exactamente de $1/10$, con un total real de ceros de 35 y $t = 35$

Otros ejemplos de factoriales cero-perfectos son: 1009!, 1097!, 1112!, 2993!, 6128!, ....

Parece haber una fuerte correlación de n teniendo solo 0-3 factores primos en {2, 3, 5} si n! es cero-perfecto. N impar a menudo es un número primo si n! es cero-perfecto.

Answer 2

Es poco probable. Hay formas de calcular el n-ésimo dígito de ciertos números en ciertas bases (por ejemplo, pi en base 16) sin tener que calcular el número completo, pero en la mayoría de las situaciones, el número o la fórmula para obtenerlo tiene propiedades muy especiales (por ejemplo, 101*10^n) para poder responder la pregunta, o el trabajo realizado para responder la pregunta es equivalente a calcular el número, escribirlo y contar los dígitos. No solo no conozco ninguna forma de responder la pregunta de otra manera, sino que también apostaría una pequeña cantidad de dinero a que no se publicará aquí ninguna forma fácil de hacerlo en los próximos 2 años.

Gerhard "Dispuesto a Formalizar la Apuesta" Paseman, 2012.07.12

Answer 3

EDICIÓN: esto realmente no funciona. Sigo siendo una buena persona.

Curiosamente, parece posible obtener el número de ceros en la expansión binaria de $n!$

Se puede obtener una expresión bastante precisa para $$\log_2 \; n! = \frac{\log \; n!}{\log 2}$$ utilizando términos adicionales en la fórmula de Stirling. Tomando el piso de eso y sumando 1 se obtiene el número total de dígitos en base dos.

La fórmula de Legendre $$ v_2(n!) = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor + \cdots $$ tiene una compañera,

$$ v_p(n!) = \frac{n - S_p(n)}{p-1} $$ donde $S_p(n)$ es la suma de los dígitos cuando $n$ se escribe en base $p.$ Como todos los dígitos en una expansión en base dos son $1,$ encontramos que $S_2(n)$ es simplemente la cantidad de 1 en la expansión en base dos de $n.$

Bien, algunas personas, que permanecerán sin nombre, han intentado manchar la reputación de su humilde servidor, señalando que la cantidad de unos en la expansión binaria de $n!$ no es la misma que la cantidad de unos en la expansión binaria de $n$ en sí misma. Lo intento tan duro. No cambies la bombilla, simplemente me quedaré aquí a oscuras.

Answer 4

Podemos encontrar una aproximación general de la siguiente manera. Primero contamos el número de ceros finales en $n!$. Dado que hay más factores de $2$ que factores de $5$ en $n!$, esto significa que hay: $$ \sum^\infty_{i=1}\left\lfloor{n\over5^i}\right\rfloor $$ cero al final del número. Ahora, hay $\mathrm{log}(n!)$ dígitos en $n!$. En los dígitos restantes (los que no son ceros al final), cada dígito tiene una probabilidad de $1/10$ de ser un $0$ (hay números para los cuales los ceros dentro del número aparecen con frecuencia; Faber llama a estos números cero-perfectos en su respuesta), así que vemos que el número de ceros en $n!$ es aproximado por: $$ \sum^\infty_{i=1}\left\lfloor{n\over5^i}\right\rfloor-\frac{1}{10}\left(\mathrm{log}(n!)-\sum^\infty_{i=1}\left\lfloor{n\over5^i}\right\rfloor\right) $$ Usando la aproximación de Stirling, esto da aproximadamente: $$\frac{9}{10}\sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor{\frac{n}{5^{i}}}\right\rfloor+\frac{1}{10}n\log_{10}n-\frac{n}{10\ln 10}+O(\ln n)$$ ceros en $n!$.

No creo que haya una forma cerrada para esto, pero esto da una buena aproximación. Por ejemplo, cuando $n=32000$ la fórmula anterior solo se desvía en $1$. Cuando $n=100$, la fórmula anterior da $37.25$ como su aproximación. Se desvía en $7.25$.