En complementado álgebras de von Neumann

Question

Edit: de acuerdo a Narutaka Ozawa, pregunta 3) todavía está abierto en el tipo de $\mathrm{II}_1$ de los casos. En otros términos, no se sabe si todos los topológicamente complementa tipo de $\mathrm{II}_1$ factor en $B(H)$ es inyectiva.

Deje $M$ ser una de von Neumann álgebra sentado en $B(H)$. He de decir que $M$ es B-complementa (resp. CB-complementa, 1-complementa) si existe una limitada (resp. totalmente acotado, norma $1$) lineal idempotente de $B(H)$ a $M$. Por supuesto, 1-complementa es sólo un sinónimo para inyectiva. Pisier (Corollaire 5) y Christensen-Sinclair demostrado que el CB-complementa implica 1-complementa. A la inversa de la siguiente manera a partir de Tomiyama. Así CB-complementa=1-complementa=inyectiva.

1) Haagerup-Pisier demostrado que el grupo de factores de $L(F_n)$ ($2\leq n\leq \infty$) no son B-complementa en $B(H)$. Hay otros ejemplos conocidos entre finito de factores? Otros que aquellos en los que los factores de $L(F_n)$ son B-complementa. Y otros que no inyectiva McDuff factores.

2) Si no me equivoco, su Corolario 4.6 también implica que todas las personas no inyectiva McDuff factor y cada no inyectiva correctamente infinito von Neumann álgebra no es B-complementa. Era conocido antes por otros medios?

3) ¿hay ejemplos de B-complementa la no 1-complementa (inyectiva) álgebras de von Neumann?

4) Si no a 3), lo que se conoce acerca de B-complementa implica 1-complementa en general?

5) Más generalmente, si $M$ es semi infinita o finita, y se sienta en una de von Neumann álgebra $N$, Pisier demostrado que $M$ CB-complementa en $N$ implica que 1-complementa en $N$. Él dice que no debe ser demasiado duro, pero ha sido demostrado que la suposición de semi infinita o finita, se puede quitar?

6) Cuando $M$ es B o CB-complementa, lo que puede ser dicho sobre el complemento de los otros que es un subespacio cerrado de $B(H)$?

Me disculpo si todo esto es bien conocido, pero no podía encontrar las respuestas en la literatura soy consciente de. Lo siento también por todas estas preguntas en una sola, pero pensé que sería inapropiado para publicar varias preguntas sobre dichos temas relacionados. Gracias.

Answer 1

(i) Obviamente, un vN subalgebra $N$ de un B-complementa vN álgebra $M$ es también B-complementado, si existe una esperanza condicional de $M$ a $N$. (ii) Haagerup y Pisier prueba de la realidad dice que si $N$ es un B-complementa vN álgebra que contiene (posiblemente no unital) copia de$M_2(N)$, con una esperanza condicional, a continuación, $N$ es CB-complementa y, por lo tanto es inyectiva. (iii) la Existencia de una esperanza condicional es automática si el vN álgebras son finitos. Con estas observaciones, se puede ver que "casi todos" los conocidos no inyectiva vN álgebras no son B-complementa, pero que sigue abierto ya que tiene para todos los vN álgebras. Para la Pregunta (5), Christensen y Sinclair (Proc LMS 1995) demostró el teorema de que la generalidad. Hay otra prueba por Haagerup (inédito).