Esto en realidad es una pregunta interesante. Implica cómo se define la "zona" en una superficie curva. Los ejemplos que usted ha proporcionado son superficies que son desarrollables (puede estar acoplada a un avión) después de un par de cortes. Y usted puede calcular el área aplanada. Usted nunca puede hacer esto a una esfera, porque no importa cuán pequeño parche de una esfera es, nunca puede estar acoplada a un avión. La idea es romper con la esfera a pequeños parches de tal manera que cada uno es plana suficiente y calcular el área como si es plana, y luego sumar las áreas de los parches.
Matemáticamente, supongamos $S$ es una esfera. El procedimiento anterior se expresa como:
Romper $S$ en parches $P_1,\dots,P_n$, donde cada una de las $P_i$ es un parche que es plana suficiente, y $n$ es el número de parches que tiene.
Calcular $\operatorname{Area}(P_i)$ como si cada una de las $P_i$ es plana. Como sugieren por levap, una manera de hacerlo es el proyecto de cada parche en uno de sus planos tangentes. Tenga en cuenta que no estoy diciendo que esto es la única manera de aproximarse a un parche, y no estoy diciendo que el camino que parece correcto a primera vista sería correcto, consulte Actualización 2 para un ejemplo, también hay discusión sobre esto en los comentarios.
El uso de $\operatorname{Area}(P_1)+\dots+\operatorname{Area}(P_n)$ como una aproximación del área de $S$.
Si las manchas son bastante pequeñas, entonces la aproximación debe ser una buena. Pero si quieres una mejor precisión, el uso de parches más pequeños y hacer lo anterior de nuevo.
Esto es para hacer los cálculos exactos, yo no puedo garantizar que un estudiante de tercer grado puede entender esto: Como usted toma más pequeños y más pequeños parches, el valor de la aproximación anterior debe atender a un número fijo, que es la definición matemática de la zona.
P. S. Para una visualización de esta aproximación, usted puede buscar en línea para la parametrización de la esfera, o simplemente pensar en un balón de fútbol (balón de fútbol).
Actualización 1: Gracias a Leander, tenemos una visualización:
![visual representation of the patches]()
Uno podría darse cuenta de que esta visualización es ligeramente diferente de la de cortar una esfera; toma de muestras de los puntos de la esfera y adjuntar los triángulos a estos puntos de muestra. Quiero remarcar que no hay ninguna diferencia esencial entre este y mi método. La idea es la misma: una aproximación.
Actualización 2: Un comentario (por Tanner Swett), mencionan que el método de utilizar una malla de polígonos puede ser defectuoso. De hecho, el ejemplo de Schwarz linterna muestra que algunos patológico elección de la malla de polígonos, se puede producir un límite diferente de la superficie de la zona. La siguiente explicación debe ser útil:
Como he mencionado en el paso 2 de arriba, si no tenemos cuidado con cómo nos aproximada de las áreas de los parches, la aproximación puede no funcionar. El Schwarz linterna es un ejemplo donde una cuidadosa elección de la aproximación de los triángulos puede llevar a la siguiente resultado: Supongamos $T$ es un triángulo que utilizamos para aproximar un parche $P$, entonces es posible ${\rm Area}(T)/{\rm Area}(P)\to a\neq1$. Para ilustrar esto, considere un triángulo único en el Schwarz linterna:
![schlant]()
Asumimos que el del cyclinder tiene una altura total $1$ y radio de $1$. Tomamos $n+1$ cortes axiales, y sobre cada rebanada $m$ puntos. El área encerrada por la red de curvas es un parche en el cilindro, y el triángulo encerrado por la línea de rayitas azules es el que se utiliza para aproximar el parche. Deje $P$ e $T$ denotar el parche y el triángulo, respectivamente. Vemos que el borde inferior de $P$ e $T$ tiene una relación $1$ como $m\to\infty$. Lo que realmente marca la diferencia es la proporción de sus alturas. Supongamos que a lo largo de la dirección vertical a la altura de $P$es
$$h=1/n$$
A continuación, la altura del triángulo es
$$h_T=\sqrt{1/n^2+a^2}$$
Por un simple cálculo sabemos $a=1-\cos(\pi/m)\approx(\pi^2/m^2)/2$. Por lo tanto,
$$h_T/h=\sqrt{1+\frac{\pi^4n^2}{m^4}}$$
Si $n$ tiene orden superior a $m^2$, entonces el límite es mayor que $1$, y, en consecuencia, ${\rm Area}(T)/{\rm Area}(P)\not\to1$.
Este problema podría tener una menor probabilidad de que ocurra en la práctica. Imagínese si usted corte el del cyclinder en parches, tendría que utilizar $h$ en lugar de $h_T$ para estimar el área. Pero, de nuevo, es difícil hacer esto (lo que la aproximación es aceptable) precisa sin necesidad de utilizar el lenguaje del cálculo.
