Es un polinomio característico consideramos que en Álgebra Lineal un polinomio o una función polinómica?

Question

En Álgebra Lineal, consideramos que la característica de polinomios.

Es un polinomio característico consideramos que en Álgebra Lineal un polinomio o una función polinómica?

Creo que es una función polinómica.

Estoy leyendo "Introducción al Álgebra Lineal" (en Japonés) por Kazuo Matsuzaka.

En este libro, el polinomio característico de una lineal mapa de $F$ es definido por $\det(A - \lambda I)$, donde $A$ es una matriz que representa a $F$.

Y en este libro, el autor define un factor determinante sólo para una matriz cuyos elementos pertenecen a un campo $K$.

Si $\det(A - \lambda I)$ es un polinomio, entonces los elementos de $A - \lambda I$ son polinomios demasiado. Pero el autor no define un factor determinante de una matriz cuyos elementos son polinomios.

Answer 1

Buena pregunta! En muchos casos, esa distinción es irrelevante, pero en algunos casos es importante. Y, cuando es importante, no son correctas: es un polinomio, no una función polinómica. Por ejemplo, los polinomios tienen grados, mientras que las funciones polinómicas no (por ejemplo, más de $\mathbb F_2$ la función polinómica $x\mapsto x^2+x$ es la nula función, pero el polinomio $x^2+x$ , todavía tiene un grado $2$, mientras que el polinomio nulo todavía tiene un grado $0$). Y el grado del polinomio característico de una $n\times n$ matriz es $n$.

Answer 2

El polinomio característico de $T$ (ya sea una o matriz de una transformación lineal, dependiendo de su preferencia) es un polinomio, no una función. Lo que realmente nos preocupa son sus coeficientes. Por ejemplo, el coeficiente inicial siempre es $1$ (de modo que es aburrido), pero el grado del polinomio es la dimensión del ambiente de espacio vectorial. El siguiente coeficiente es (hasta un signo) la traza de $T$. La libre coeficiente es el factor determinante. El resto de coeficientes también tienen un significado directamente expresada en $T$. Todo esto se pierde si se considera el polinomio simplemente como una función ya que en ciertos campos de este proceso destruye los coeficientes.

Answer 3

El polinomio característico es en realidad ... un polinomio!

Aquí hay más detalles sobre la definición de los determinantes y del polinomio característico en el caso general. En el caso de Algebra Lineal, $M$ sería una $n$-dimensional espacio vectorial sobre $R$ (un campo).

Para todo libre unital módulo de $M$ de rango finito $n$ a través de una conmutativa unital anillo de $R$ y para cada endomorfismo $a$ de $M$, el determinante de $a$ se define por la identidad $$ ax_1\wedge\dotsb\wedge ax_n = (\det a)(x_1,\wedge\dotsb\wedge x_n)\qquad (x_1,\dotsc,x_n\M). $$

Si $S$ es unital $R$-álgebra, entonces existe un natural homomorphism $$ \operatorname{End}_{R}. (M)\otimes_RS\a\operatorname{End}_{S}(M\otimes_RS). $$ Desde $M$ se supone que para ser libre de rango finito, se puede demostrar que este homomorphism es un isomorfismo: $$ \operatorname{End}_{R}. (M)\otimes_RS\cong\operatorname{End}_{S}(M\otimes_RS). $$

El polinomio característico de $a\in\operatorname{End}_R(M)$es $\chi_a\in R[X]$ definido por $$ \chi_a =\det(a - X), $$ donde $a - X = (a\operatorname{id}_M)\otimes 1 -\operatorname{id}_M\otimes X\in\operatorname{End}_{R}(M)[X] =\operatorname{End}_{R}(M)\otimes_RR[X]$ es visto como un elemento de $\operatorname{End}_{R[X]}(M[X])$, donde $M[X] = M\otimes_RR[X]$.