En mi investigación surgió la siguiente pregunta. Como hay mucha gente inteligente que publica aquí, he pensado en plantearla.
Recordemos que el anillo de grupo de un grupo $G$ es el grupo abeliano $\mathbb{Z}[G]$ consistente en combinaciones lineales de símbolos formales $[g]$ , donde $g$ se extiende sobre los elementos de $G$ (el grupo abeliano $\mathbb{Z}[G]$ también tiene una estructura de anillo evidente, pero eso no es importante para esta pregunta).
Consideremos el anillo de grupo $\mathbb{Z}[\mathbb{Q}]$ de los números racionales $\mathbb{Q}$ (considerado como un grupo aditivo). Existe una proyección natural $\pi : \mathbb{Z}[\mathbb{Q}] \rightarrow \mathbb{Z}[\mathbb{Q}/\mathbb{Z}]$ . Tiene un gran núcleo; por ejemplo, este núcleo contiene $[n]-[0]$ para los enteros $n$ y cosas como $[3/2]-[1/2]$ . También existe una involución natural $i : \mathbb{Z}[\mathbb{Q} \setminus \{0\}] \rightarrow \mathbb{Z}[\mathbb{Q} \setminus \{0\}]$ definido por $i([q]) = [1/q]$ . Aquí por $\mathbb{Z}[\mathbb{Q} \setminus \{0\}]$ Sólo me refiero a sumas formales de $[q]$ donde $q$ es un número racional no nulo. Tenemos una inclusión natural $\mathbb{Z}[\mathbb{Q} \setminus \{0\}] \subset \mathbb{Z}[\mathbb{Q}]$ .
Pregunta. ¿Qué es $\text{ker}(\pi) \cap \text{ker}(\pi \circ i)$ ? Claramente contiene cosas como $[1]-[-1]$ pero no sé si contiene más elementos "exóticos".
