Descomposición en factores primos "degradado" conduce a la función de cuyos puntos fijos son los números primos

Question

Deje $n$ ser un número natural, cuya descomposición en factores primos es $$n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i} \; .$$ Definir una función $g(n)$ como sigue $$g(n)=\sum_{i=1}^{k}p_i {\alpha_i} \;,$$ es decir, la exponenciación es "degradado" a la multiplicación, y la multiplicación es degradado a la adición. Por ejemplo: $n=200=2^3 5^2$, $f(n) = 2 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 16$.

Definir $f(n)$ a repetir $g(n)$ hasta un ciclo que se alcanza. Por ejemplo: $n=154=2^1 7^1 11^1$, $g(n)=20$, $g^2(n)=g(20)=9$, $g^3(n)=g(9)=6$, $g^4(n)=g(6)=5$, y ahora se $g^k(n)=5$ para $k \ge 4$. Por lo $f(154)=5$.

Está claro que todos los prime es un punto fijo de $f(\;)$. Yo creo que el $n=4$ es el único compuesto de punto fijo de $f(\;)$.

Q1. Es el caso de que $4$ es el único compuesto de punto fijo de $f(\;)$, y que no hay ciclos de longitud mayor que $1$? (Sí: Ver EmilJeřábek's comentario.)

Q2. Cada primer $p$ tiene un $n \neq p$ tal que $f(n) = p$, es decir, es cada primer "alcanzado" por $f(\;)$? (Sí: Ver JeremyRouse's respuesta.)

Parecen existir patrones interesantes aquí. Por ejemplo, parece que $f(n)=5$ es común. (En efecto: Ver მამუკა ჯიბლაძე gráfica de la pantalla.)

Answer 1

Una manera de conseguir que no trivial de la solución a $f(n) = p$ es que cada número impar $\geq 7$ puede ser escrita como una suma de tres números primos (por Helfgott reciente trabajo), así que si $p \geq 7$ es primo, podemos escribir $p = q + r + s$, y tenemos $g(qrs) = q + r + s = p$. (Esta es, por supuesto, un poco de exageración, que en realidad no necesitamos un resultado difícil de ver esto.)

Answer 2

NO es UNA RESPUESTA, sólo una ilustración :D ($g$ a a $n=150$)
Muy divertido...

En caso de que alguien quiera jugar con esto, aquí está el código de Mathematica

g[n_] := Dot @@ Transpose[FactorInteger[n]]
Graph[Map[# \[DirectedEdge] g[#] &, Range[2, 150]],
    VertexLabels -> Placed["Name", {1/2, 1/2}], VertexShape -> ""]

Y puesto que, como se discute en los comentarios de abajo, la imagen podría ser engañoso en que el corte en cualquier $n$ crea la falsa impresión de que los números más grandes tienen menor $g$-preimages, mientras que en realidad es exactamente lo contrario, aquí está la tabla de tamaños, el más pequeño y el más grande de los elementos en $g^{-1}(n)$ para $n\leqslant30$:

n   |  min size max
-------------------
2   |   2   1   2
3   |   3   1   3
4   |   4   1   4
5   |   5   2   6
6   |   8   2   9
7   |   7   3   12
8   |   15  3   18
9   |   14  4   27
10  |   21  5   36
11  |   11  6   54
12  |   35  7   81
13  |   13  9   108
14  |   33  10  162
15  |   26  12  243
16  |   39  14  324
17  |   17  17  486
18  |   65  19  729
19  |   19  23  972
20  |   51  26  1458
21  |   38  30  2187
22  |   57  35  2916
23  |   23  40  4374
24  |   95  46  6561
25  |   46  52  8748
26  |   69  60  13122
27  |   92  67  19683
28  |   115 77  26244
29  |   29  87  39366
30  |   161 98  59049

Y aquí está el código para $g^{-1}$:

ginverse[n_]:=Which[
    n == 0, {1},
    n == 1, {},
    n == 2, {2},
    True, With[{p = Prime[Range[PrimePi[n]]]}, 
        Sort[Map[Times @@ (p^#) &, FrobeniusSolve[p, n]]]]]

Answer 3

Aquí es (parte de) histograma de $|f^{-1}(n)|$ para $n=5,\ldots,10^6$ (recientemente actualizada de $10^5$ a $10^6$):

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$266429$ de los números de $n \le 10^6$ mapa de $f(n)=5$; $152548$ mapa de $f(n)=7$.

Answer 4

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Estaba pensando acerca de esta antigua pregunta de nuevo, y hizo otra imagen (lo siento es ilegible), en el estilo de usuario @მამუკა ჯიბლაძე, de los números de $\le 2000$ que en última instancia mapa a $5$ ($5$ e $6$ están en el centro, con $8$derecho y $9$ a la izquierda, cada conexión de a $6$). Por ejemplo: \begin{eqnarray} n = 1788 &=& 2^2 \; 3^1 \; 149^1\\ g(1788) &=& 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 149 \cdot 1 = 156\\ n = 156 &=& 2^2 \; 3^1 \; 13^1 \\ g(156) &=& 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 13 \cdot 1 = 20\\ n = 20 &=& 2^2 \; 5^1\\ g(20) &=& 2 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 9\\ n = 9 &=& 3^2\\ g(9) &=& 3 \cdot 2 = 6\\ n = 6 &=& 2^1 \; 3^1 = 5\\ g(5) &=& 5 \end{eqnarray} La estructura general de la $5$-fregadero sigue siendo la misma que en la medida que pueda tomar los cálculos.