Caminar hasta el infinito en los primos: El problema del foso espiral de los primos

Question

Es un problema no resuelto decidir si es posible "caminar hasta el infinito" desde el origen con pasos de longitud limitada, cada uno tocando un primo gaussiano como peldaño. El artículo de Ellen Gethner, Stan Wagon y Brian Wick, "Un paseo por los primos de Gauss" ( American Mathematical Monthly , 105 : 327-337 (1998) ) discute esto Problema del foso gaussiano y demuestra que los pasos de longitud $< \sqrt{26}$ son insuficientes. Su resultado se mejoró a $\sqrt{36}$ en 2005 .

Mi pregunta es:

¿Es el qu espiral primitiva (también conocida como espiral de Ulam) -¿Se puede caminar hasta el infinito dando pasos de longitud acotada tocando sólo las coordenadas espirales de los primos?

Lo poco que sé de lagunas primarias sugieren que debería ser más fácil caminar hasta el infinito. Por ejemplo, la primera brecha de 500 no se produce hasta alrededor de $10^{12}$ (más exactamente, 499 y 303.371.455.241 ).

Pregunto esto principalmente por curiosidad, y lo he etiquetado como "recreativo".

Edit1. A la luz de las observaciones de Gjergji más abajo, he etiquetado esto como un problema abierto.

Edición 2. Sólo por diversión, he calculado qué primes son alcanzables en una pequeña porción de la espiral, para distancias de paso $d \le 3$ (izquierda abajo) y $d \le 4$ (abajo a la derecha); rojo=alcanzado, azul=no alcanzado. El primero no llega a 83, el 23 rd primer punto azul apenas perceptible en las coordenadas espirales (5,-3); este último no llega a 5087, el 680 th punto azul principal en coordenadas espirales (36,10).

Answer 1

No sé si alguno de los modelos probabilísticos o de percolación relacionados con los paseos primos gaussianos (Eisenstein, etc.) tiene análogos para el problema que sugieres. Sin embargo, tenga en cuenta que si tal paseo infinito fuera posible, implicaría que la brecha entre primos sucesivos sería $O(\sqrt{p})$ es decir, es una forma (ligeramente más débil) de Conjetura de Legendre . Obsérvese también que esto es más fuerte que el límite de los huecos primos implicado por la hipótesis de Riemann, que es $O(\sqrt{p}\log p)$ así que no, el problema que sugieres no es más fácil que las otras conjeturas sobre patrones de primos.

Answer 2

La teoría de la percolación sugiere que la probabilidad de que uno pueda caminar hasta el infinito es 1 si la densidad de escalones elegidos al azar es al menos un cierto número crítico, y es 0 si la densidad es menor que este número. Dado que la densidad de primos en la espiral de Ulam y la densidad de primos gaussianos en el plano tienden ambas a cero, la densidad de escalones es 0. Esto sugiere que no se puede caminar hasta el infinito ni sobre primos en la espiral de Ulam ni sobre primos gaussianos, para cualquier tamaño acotado de escalón.