Homotopy de la teoría de la deriva Morita equivalencias

Question

Recordemos que dos $k$-álgebras $A, B$ son Morita equivalente iff sus categorías de la izquierda módulos son equivalentes. Sin embargo, esta relación resulta ser más bien fina y se introduce un grueso de equivalencia de la relación de los derivados de equivalencia de Morita por el uso (limitado) categorías derivadas de los módulos, junto con sus nidos de la estructura.

(Tenga en cuenta que no soy experto en esta materia y yo estaba más expuesto a este punto de vista a través de la geometría algebraica, donde una vez trabaja con delimitada categorías derivadas de coherente poleas en una variedad.)

Sin embargo, como yo lo entiendo, la derivada de la categoría de un álgebra surge como una homotopy categoría de la modelo estable de la categoría de los complejos de la cadena. El último puede ser visto como la presentación de una homotopy teoría (es decir. una $(\infty, 1)$-categoría), por ejemplo a través del proceso de simplicial de localización (y probablemente también algunos más directa, la dirección general de la teoría de los métodos?).

Uno podría decir, entonces, que dos álgebras son "superiores derivados de la Morita equivalente a" si su $(\infty, 1)$-categorías de (bounded?) los complejos son equivalentes, así como las categorías superiores. La pregunta es la siguiente: ¿Qué podemos decir acerca de esta nueva relación de equivalencia? ¿Hasta qué punto es esta relación de derivados de equivalencia de Morita? Tan lejos está de ordinario Morita equivalencia?

Yo no tengo la intuición acerca de esto y me puede imaginar respuestas que completamente equiparar "mayor derivados de equivalencia de Morita" con cualquiera de estos dos, aunque probablemente sería más interesante si fue en algún lugar entre ellos.

Nota que uno se puede imaginar que de alguna manera la derivada de la categoría de un álgebra recuerda todos los "mayores homotopy", ya que pasa a ser el caso de algunos otros homotopy categorías de modelo estable categorías. Por ejemplo, en "El establo homotopy categoría es rígido", por S. Schwede está demostrado que cualquier modelo estable de la categoría $\mathcal{C}$ que satifies $ho(\mathcal{C}) \simeq \mathcal{SHC}$ (como nidos categorías, de las cuales la última es la estable homotopy categoría) es, de hecho, Quillen equivalente al modelo de la categoría de los espectros, para que presente el mismo homotopy teoría.

Pido a la pregunta ya que estoy estudiando actualmente categorías más altas, y esto me llevó a preguntarme ¿cuál es su posible fuerza como invariantes de otros objetos matemáticos.

Answer 1

Derivado de la Morita de equivalencia es la misma de la mayor derivada de equivalencia de Morita. Claramente, $\Leftarrow$ es obvia, y el $\Rightarrow$ sigue por el Teorema 2.6 en Dugger-Shipley del "K-teoría y derivados de equivalencias" Duque de Matemáticas. J. 124 (2004), no.3, 587--617. Esto es sorprendente en un primer vistazo, se deduce del hecho de que el álgebra de operadores se concentran en el grado $0$. El resultado análogo para la DG-álgebras es falso, comparar 'Un curioso ejemplo de nidos-modelo equivalente de categorías que no son Quillen equivalente' Algebraicas y Geomtric Topología 9 (2009), no. 1, 135-166, por los mismos autores. Todavía hay algunas interesantes preguntas abiertas conectado a este, sin embargo.

Answer 2

Fernando respuesta es excelente, pero no puedo resistir a mencionar lo que es quizás el más simple contraejemplo a una generalización a su pregunta. Como dice Fernando, hay contraejemplos si usted generalizar a partir de los anillos concentra en el grado 0 de la dg-álgebras. Estos ejemplos son un poco complicados, pero si se generaliza aún más a $A_\infty$ anillo de espectros, hay un muy sencillo ejemplo.

Revisión de un primer $p$ y un entero $n>0$ y considerar el Morava K-teoría del espectro de $K(n)$, que puede administrarse en una $A_\infty$ estructura. El homotopy grupos $\pi_*K(n)=\mathbb{F}_p[v_n^{\pm1}]$ son clasificados de campo, y de ello se sigue que todos los $K(n)$-módulo libre (una cuña de suspensiones de $K(n)$). En particular, el homotopy categoría de $K(n)$-módulos es semisimple, y es en realidad equivalente (como nidos categoría) a la categoría de graduados $\mathbb{F}_p[v_n^{\pm1}]$-espacios vectoriales. Esta categoría también es equivalente a la homotopy categoría de $H\mathbb{F}_p[v_n^{\pm1}]$-módulos (o, equivalentemente, la dirección general de los módulos a través de la gradual anillo de $\mathbb{F}_p[v_n^{\pm1}]$). Sin embargo, el correspondiente $(\infty,1)$-categorías no son equivalentes. De hecho, el espacio de endomorphisms de una simple $K(n)$-módulo de es $\Omega^\infty K(n)$, mientras que el espacio de endomorphisms de una simple $H\mathbb{F}_p[v_n^{\pm1}]$-módulo de es $\Omega^\infty H\mathbb{F}_p[v_n^{\pm1}]\simeq \prod_i K(\mathbb{F}_p,2i(p^n-1))$. Estos espacios se han isomorfo homotopy grupos, pero que sin embargo están muy lejos de ser homotopy equivalente.