Prueba de que la suma de los cubos de cualquier tres números positivos consecutivos es divisible por tres.

Question

Por lo tanto, esta pregunta tiene menos que ver con la prueba en sí misma y más que ver con si mi método elegido de prueba es suficiente evidencia. De hecho, se puede mostrar por el Principio de Inducción Matemática que la suma de los cubos de cualquier tres enteros positivos consecutivos es divisible por 9, pero esto no es lo que pretendo mostrar y no es lo que el autor está preguntando. Creo que la Inducción Matemática no es el camino previsto por el autor para el lector, por eso pidieron demostrar la divisibilidad por 3. Así que hice una demostración sin usar la Inducción Matemática. ¿Pero es suficiente?

Es del libro de Álgebra Abstracta de Beachy-Blair, Sección 1.1, Problema 21. Esto no es para la tarea, tomé Álgebra Abstracta cuando era estudiante universitario. Solo estaba repasando algunos problemas que aún no he resuelto del libro de texto por placer.

Pregunta: Demuestra que la suma de los cubos de cualquier tres enteros positivos consecutivos es divisible por 3.

Así que aquí está mi prueba:

Deja a $\in$ $\mathbb{Z}^+$

Define \begin{equation} S(x) = x^3 + (x+1)^3 + (x+2)^3 \end{equation>

Entonces,

\begin{equation} S(a) = a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3\end{equation>

\begin{equation} S(a) = a^3 + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) + (a^3 +6a^2 + 12a +8) \end{equation>

\begin{equation} S(a) = 3a^3 + 9a^2 + 15a + 9 \end{equation>

\begin{equation} S(a) = 3(a^3 + 3a^2 + 5a + 3)

Por lo tanto, $3 \mid S(a)$.

QED

Answer 1

Tu solución está bien, siempre y cuando tu intención fuera demostrar que la suma es divisible por $3$.

¡Si tu intención era demostrar divisibilidad por $9, entonces tienes más trabajo por hacer!

Si estás familiarizado con el trabajo en $\pmod 3$, ten en cuenta el comentario/respuesta/alternativa de @Math Gems. (Aunque para ser honesto, yo habría procedido como tú, pasando por alto completamente el valor del enfoque de Math Gems.)

Answer 2

Tu solución es perfecta.

Si estás familiarizado con la aritmética modular, hay incluso pruebas mucho más rápidas, mira los comentarios.

O, en lugar de $x,x+1,x+2$, podrías empezar desde $x-1,x,x+1$. Pero no se necesita más evidencia que la tuya.

Answer 3

De hecho, has realizado suficiente trabajo para demostrar que la suma de los $3$ cubos es divisible por $9,$ no solo por $3,$ pero no has explicado ese paso: Observa que (módulo $9$), $S(a)$ es lo mismo que $3(a^{3}+5a).$ Pero $a^{3}-a$ es divisible por $3$ para todos los enteros $a,$ como puedes ver al verificar $(3b-1)^{3}$ y $(3b+1)^{3}$ para enteros $b.$ Por lo tanto, $S(a) = 18a +9b$ para algún entero $b.

Answer 4

Como ya se mencionó, la aritmética modular es la forma más eficiente de resolver este problema, pero, si realmente quieres evitarla, aún puedes salir adelante con cálculos ligeramente más sencillos (coeficientes más pequeños). Introduce un nombre, digamos $y$, para el entero intermedio de los tres, en lugar del más pequeño. Por lo tanto, sumarías $(y-1)^3+y^3+(y+1)^3$, lo que conduce a una cantidad justa de cancelación y ningún coeficiente mayor a 6.

Answer 5

Cualquier 3 números consecutivos siempre serán de la forma 3k-1, 3k, 3k+1. Por lo tanto, 3k-1 es -1 modulo 3. Donde el operador modulo (mod) significa que x es el residuo obtenido cuando a es dividido por y. (3k-1)^3 es -1 modulo 3. De manera similar, 3k^3 es 0 modulo 3. (3k+1)^3 es 1 modulo 3. Por lo tanto, (3k-1)^3 + (3k)^3 + (3k+1)^3 es -1 + 0 + 1 modulo 3, que es igual a 0 modulo 3. Por lo tanto, siempre es divisible por 3.