La serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1$$ sugiere que podría ser posible alicatar un $1\times1$ cuadrado con rectángulos no repetidos de la forma $\frac{1}{n}\times\frac{1}{n+1}$ . ¿Existe una forma regular conocida de hacer esto? Sólo jugando y sin tener ningún algoritmo específico, llegué hasta la imagen de abajo, que sirve más para tener una idea de lo que estoy buscando.
Creo que algo de teoría sobre las fracciones egipcias ayudaría. Es bonito por ejemplo en el centro donde $\frac13+\frac14+\frac16+\frac14=1$ . Y en el borde derecho donde $\frac12+\frac13+\frac16=1$ .
Nota al margen: La serie es $\left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\cdots$ . El aspecto similar $\left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\cdots$ sumas a $\ln(2)$ y allí es una bonita imagen para eso, si se interpreta $\ln(2)$ como un área bajo $y= \frac{1}{x}$ :
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¡Wow! Esta es la pregunta más interesante que he visto en este sitio desde hace tiempo :)
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Se trata de un problema de nivel de investigación en "Concrete Mathematics" (2ª edición) de Grapham, Knuth, Patashnik (ISBN-10: 0201558025): ver página 66, ejercicio 37. En la sección de pistas encontrarás que cada uno de los autores tiene una opinión diferente.
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Esto se preguntó en MO: mathoverflow.net/questions/34145/ y parece que sigue siendo un problema abierto.
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Escribí un artículo relacionado con esto ( math.ubc.ca/~gerg/index.shtml?abstract=CTGP ). En él se puede encontrar una referencia a este enunciado del problema, así como mis razones para creer que tal empaquetamiento es posible.
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¿Cuál es el protocolo para cuando una pregunta resulta ser de nivel de investigación? ¿Debo eliminar la pregunta?
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@alex.jordan En general, una pregunta no debería ser eliminada a menos que sea insalvablemente horrible (por ejemplo, haz mis deberes por mí), inapropiada o spam. Tal y como está tu pregunta no es nada de eso y no merece ser borrada en absoluto.
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@GregMartin: Por casualidad conoces un mosaico no trivial (no geométrico como la proporción áurea o similar), sin dos mosaicos iguales, que hace ¿tiene algún tipo de enumeración para cada uno de los diferentes mosaicos?
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¿Cuál es su algoritmo para colocar el rectángulo en la imagen donde el área suma $\ln 2$ ?
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@GregMartin No puedo atribuirme el mérito; lo vi en algún momento en alguna parte. Después del gran rectángulo para $1-\frac12$ el patrón real se pone en marcha. En primer lugar, utilizando $x=1+\frac12$ obtenemos el rectángulo que representa $\frac13-\frac14$ . Entonces, en $x=1+\frac14$ y $x=1+\frac34$ se obtienen los rectángulos para $\frac15-\frac16$ y $\frac17-\frac18$ . Entonces, en $x=1+\frac18$ , $x=1+\frac38$ , $x=1+\frac58$ y $x=1+\frac78$ se obtienen rectángulos para $\frac19-\frac1{10}$ , $\frac1{11}-\frac1{12}$ , $\frac1{13}-\frac1{14}$ y $\frac1{15}-\frac1{16}$ . ¿Ves el patrón? Busca los poderes de $2$ en los denominadores.
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Como nadie parece saber cómo encajar los rectángulos en un cuadrado de área igual a la suma de sus áreas, qué tal esta pregunta: ¿Cuál es el cuadrado más pequeño que contiene todos los $\frac1{n}\times \frac1{n+1}$ rectángulos sin solapamientos?
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@martycohen : mira cualquiera de los enlaces de los comentarios anteriores. Paulhus los ha encajado en un cuadrado de lado algo así como $1+10^{-9}$ .
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@alex.jordan : Gracias por la explicación; es un dato genial. Tomo nota de que el $\ln2$ El ejemplo alicata el área curva con rectángulos de área determinada, pero no con dimensiones dadas de forma razonable. El problema análogo sería embaldosar el cuadrado unitario con rectángulos de área $1/n(n+1)$ pero no con dimensiones dadas; y eso es trivial. Así que creo que seguimos buscando un ejemplo de mosaico natural conocido con una secuencia de rectángulos de dimensiones dadas.
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@GregMartin ¿Qué es "no con dimensiones dadas"?
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@VividD Quiere decir que los rectángulos del $\ln(2)$ ejemplo no son literalmente $\frac{1}{2n-1}\times\frac{1}{2n}$ . Tienen la misma superficie total, pero diferentes dimensiones.
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@alex.jordan Oh, ok, ahora lo veo.
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Bonito problema. Pero parece que no hay ningún método para arreglarlo analíticamente.
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¡¡¡¡¡¡¡¡¡Yo esta pregunta !!!!!!!!!
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Y eso es popularidad....
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Esta pregunta es básicamente idéntica a una publicada en MathOverflow . Dejo aquí la pregunta como referencia para los lectores interesados en el futuro.