Uno geométrica de comentario (que es una reminiscencia de una simetrización
principio que se utiliza en problemas isoperimétrico): reducir a un mínimo la polycube
puede ser elegido, se encuentra en el primer octante, con tres lados de la tangente
a los planos de coordenadas, y por lo que el número de cubos que hay en cada columna es
monotónica en cada coordenada, como una pastilla de suelo de baldosas:
![enter image description here]()
El punto es que usted puede elegir de una dirección a la
la superficie de la tierra, y dejar que la gravedad tire de todos los cubos
abajo. Esto no aumenta el área de la superficie: el resultado
termina con una parte de abajo y la cara superior de cada columna.
En columnas adyacentes de la altura de la $m$ e $n$, el número de
expone que se enfrenta es al menos $|m-n|$, que es minimizada cuando
están sentados al ras. Repetir esto en cada dirección, hasta que
la configuración es monótona (como un 3-dimensional de Jóvenes diagrama,
pero no sé si hay una matemática de la etiqueta).
Agregado: Este argumento da una interpretación de la
deseado problema de minimización. Uno tiene una secuencia de diagramas de Jóvenes
en las tres direcciones, tal que el número total de plazas
se suma a $n$, y que son monótonas en el número de
plazas en cada diagrama (con algunas condiciones de compatibilidad).
Deje que el número de plazas en los jóvenes el diagrama adyacente a
cada plano de coordenadas ser $x_1, y_1, z_1$ respectivamente. Entonces
el área de la superficie es $2(x_1+y_1+z_1)$. Este es contar dos veces
el número de azul, rojo y verde plazas (excluido el
las esquinas) en la imagen (en la foto de la parte superior cuadrados, para
que hay un correspondiente de la parte inferior de la plaza, en cada columna).
Tenemos $x_1\geq x_2 \geq \cdots \geq x_k$, e $x_1+x_2+\cdots+x_k=n$,
y las correspondientes fórmulas de $y_i$ e $z_i$ contar
el número de plazas en cada uno de tableau paralelas a un
plano de coordenadas. No debería ser demasiado difícil de resolver este
optimización combinatoria problema, pero no tengo tiempo
el trabajo es ahora.
Anexo 2: creo que puedo describir la solución óptima, pero
No tengo tiempo para escribir el argumento completo ahora.
Es útil considerar la 2-dimensional caso de los Jóvenes diagramas.
Una longitud de $n$ Jóvenes diagrama es una secuencia $x_1\geq x_2 \geq \cdots \geq x_{y_1}$, de tal manera que $\sum x_j=n$.
![A 5,4,1 Young diagram]()
El doble diagrama es $y_1 \geq y_2 \geq \cdots y_{x_1}$ donde $y_i=\max\{ j | x_j\geq i\}$. La longitud de la frontera es $2(x_1+y_1)$. A continuación, la simetrización principio dice que el mínimo "polysquare" es un Joven diagrama. Deje $P(2k)$ ser el tamaño máximo de un diagrama con perímetro $2k$ (el "isoperimétrico la función"). Desde pequeño diagrama encaja dentro de un rectángulo de lados $x_1, y_1$ con el mismo perímetro, claramente $P(2k) = \max_{a+b=k} ab = \lfloor \frac{k}{2} \rfloor \lceil \frac{k}{2}\rceil$. También, el Joven diagrama que minimiza el perímetro para un determinado $n$ claramente ha $P(2(x_1+y_1-1))< n \leq P(2(x_1+y_1))$. Deje $k=x_1+y_1$. A continuación, el mínimo perímetro será realizado por un Joven diagrama que, si $k$ es aún, es un $k/2(k/2-1)$ rectángulo con una fila de $n-k(k-2)/4$ plazas añadido en (de modo adecuado en un $(k/2)^2$ cuadrados y contiene un $k/2(k/2-1)$ rectángulo). Si $k$ es impar, entonces el diagrama se obtiene a partir de una $((k-1)/2)^2$ plaza con una fila de $n-(k-1)^2/4$ plazas añadido (por lo que contiene un $(k-1)/2\times (k-1)/2$ plaza, y dentro de un rectángulo de tamaño $(k-1)/2\times (k+1)/2$). Nota: El perímetro minimizer está lejos de ser único. Por ejemplo, si $n=8$, entonces el minimizer será realizada por los Jóvenes de las secuencias de $3,3,2$ e $4,4$. Sólo estamos describiendo la elección preferida de minimizers.
Ahora podemos usar esta descripción de perímetro minimizar los Jóvenes diagramas para describir un mínimo de 3-D de los Jóvenes diagramas. Como se describió anteriormente, tenemos una monótona secuencia de Jóvenes diagramas, cada conexión dentro de la otra, de los tamaños de las $x_1\geq x_2 \geq \cdots \geq x_k$. A continuación, se verifica que el perímetro es$2x_1$, más del doble de la suma de los perímetros de los Jóvenes diagramas. Reemplazar cada uno de los Jóvenes diagrama con un perímetro de minimizar la descrita más arriba (se puede observar que las opciones son anidados para $x_i \geq x_{i+1}$). Repita este en el $y-$ e $z-$ instrucciones para obtener un 3-D de los Jóvenes diagrama en el que las secciones transversales son perímetro de la minimización de 2-D Jóvenes diagramas. A continuación, el 3-D de los Jóvenes diagrama cabe en una $a\times b \times c$ cuadro, con $a\leq b\leq c$, e $|c-a|=1$ (por lo $b= a$ o $c$). Una similar isoperimétrico argumento a lo anterior implica que contiene un $a^3$ cubo y se encuentra en un $c^3$ cubo, donde $a=\lfloor n^{1/3} \rfloor$. Si $ n < a^2(a+1)$, entonces se obtiene a partir de una $a^3$ cubo con un $n-a^3$ óptimo Jóvenes diagrama adjunto a una cara. Si $a^2(a+1)\leq n < a(a+1)^2$, entonces se obtiene a partir de una $a^2\times (a+1)$ cuadro adjuntando un óptimo $n-a^2(a+1)$ Jóvenes diagrama de una $a\times (a+1)$ cara. Y si $a(a+1)^2 \leq n$, entonces se obtiene a partir de una $a\times (a+1)^2$ cuadro adjuntando un $n-a(a+1)^2$ Jóvenes diagrama de una $(a+1)^2$ cara. De nuevo, estos no son los únicos perímetro minimizers, pero una descripción de óptima queridos. Es posible que he cometido un error, pero al menos la simetrización principios que sustentan el argumento parece sólido.
