$p$-ádico Langlands correspondencia

Question

Pregunta básica: ¿Es correcto que el $p$-ádico Langlands correspondencia es conocido por $GL_2$ sólo sobre$Q_p$, pero otros no $p$-ádico campos? Si es así, me gustaría pedir un poco de luz a ser derramada sobre esta restricción, es decir, por qué sólo la $Q_p$, pero no de sus extensiones. Cualquier referencia de este (y perspectivas) sería muy apreciada.

Gracias!

Answer 1

Sí, esto es correcto.

El problema es que cuando vuelva a $Q_p$ por extensión, de la dimensión de $GL_2(F)$ como $p$-ádico de la analítica de grupo aumenta. Esto también significa que el cohomological dimensión de su abierta subgrupos aumenta. Esto conduce a la teoría de la representación de $GL_2(F)$ de ser mucho más complicada que la de $GL_2(Q_p)$. Por ejemplo, lisa irreductible $\overline{\mathbb F}_p$-representaciones no han sido clasificados si $F\neq Q_p$.

Prototipo de ejemplo: Supongamos $\mathbb G=\mathbb G_a$, y deje $K=\mathbb{G}(\mathcal O_F)$. De modo que $K$ es $(\mathcal O_F, +)$. Luego de completada grupo agebra $\mathcal O[[K]]$ es isomorfo a $\mathcal O[[x_1, ..., x_d]]$ donde $d=[F:Q_p]$ donde $\mathcal O$ es un anillo de inegers en un número finito de extensión de $Q_p$. La teoría de los módulos de $\mathcal O[[K]]$ es mucho más fácil, cuando $d=1$. Si desea ver esta acción en echar un vistazo a Emerton del "En una clase coherente de los anillos, con aplicaciones para el buen teoría de la representación de GL_2(Q_p) en característica p", disponible en su sitio web .

Desde $GL_2(F)$ es localmente pro-$p$ este problema no surgir si se trabaja a través de $\mathbb C$ o $\mathbb F_l$, $l\neq p$.

Answer 2

Con respecto a las perspectivas de la ampliación de la correspondencia a $GL_2(F)$ otros $F$, uno podía mirar Paškūnas los papeles de "Coeficiente de sistemas y supersingular representaciones", "Hacia un módulo de $p$ Langlands correspondencia para $GL_2(F)$" (conjunta con C. Breuil), y "Admisible unitario de las terminaciones de localmente $\mathbb Q_p$-racional de las representaciones de $GL_2(F)$", disponible en su sitio web y/o el arXiv.

También hay Breuil ICM de hablar desde el verano pasado, "La emergente $p$-ádico programa de Langlands", disponible en su sitio web. Esto le da un muy buen estudio de todo el estado de la teoría (que se ha mantenido relativamente estable desde entonces).

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Algunos comentarios sobre Paškūnas los papeles: En el $GL_2(\mathbb Q_p)$ de los casos, Breuil encontró que el número de irred. supersingular reps. de $GL_2(\mathbb Q_p)$ mod $p$ coincide con los números de $2$-dim l irred. mod $p$ reps. de $G_{\mathbb Q_p}$, y que incluso existe una forma natural para que coincida con ellos (que, por ejemplo, es compatible con la Serre de la conjetura de los pesos de las formas modulares dando lugar a mod $p$ global de Galois reps.).

Fue entonces natural a la conjetura de que el mismo fue cierto para $GL_2(F)$. El primero de estos documentos tiene el objetivo de verificar esta hipótesis. De hecho, tiene éxito en la construcción el número de la derecha de supersingular reps. mod $p$ de % de$GL_2(F)$. Sin embargo, más tarde se dio cuenta de que no era no hay manera de coincidir estos con irred. Galois reps. en cualquier forma que sea compatible con el Buitre, como el Diamante--Jarvis (BDJ) conjetura (la generalización de Serre de la conjetura a las formas modulares de Hilbert).

El segundo documento que se extiende a las técnicas de la primera, y se muestra en el hecho de que cuando $F \neq \mathbb Q_p$ hay muchos, muchos más supersingulars que hay $2$-dim l. irreps de $G_F$. Intenta encontrar orden en este caos por la identificación de ciertas clases de supersingulars que parecen tener algo que ver con el Galois lado (en el sentido de que coinciden con las predicciones de la BDJ conjetura).

El tercer trabajo se muestra cómo levantar mod $p$ representaciones a $p$-ádico espacios de Banach representaciones de diversas maneras, y por lo tanto puede ser considerado como (i) evidencia que habrá un $p$-ádico local Langlands para $GL_2(F)$, pero también (ii) muestra que la comprensión será al menos tan difícil como la comprensión de la mod $p$ situación.