¿Por qué no puede Antoine collar de la desmoronarse?

Question

Antoine collar es una incrustación de que el conjunto de Cantor en $\mathbb{R}^3$ construido por tomar un toro, reemplazándolo con un collar de pequeñas interrelacionadas tori acostado en su interior, en sustitución de cada pequeño toro con un collar de la interrelación de tori acostado en su interior, y continuando con el proceso ad infinitum; Antoine collar es la intersección de todas las iteraciones.

Un número de fuentes afirman que este collar 'no se puede caer a pedazos"(por ejemplo, aquí). Dado que el collar es totalmente desconectados obviamente, esto tiene que ser tomado algo vagamente, pero traté de averiguar exactamente lo que se quiere decir con esto. La mayoría de las fuentes parecen apuntar a este trabajo (que debe ser observado contiene algunas imágenes verdaderamente notables, por ejemplo, la Figura 12). Allí, los autores hacen el mismo punto que Antoine collar 'no puede derrumbarse". Sin embargo, todos ellos parecen mostrar que en el papel es que no puede ser separada por una esfera (cada esfera con un punto de collar en su interior y un punto de la cadena de fuera de ella tiene un punto de collar en ella).

A mí me parece que ser razonablemente ejercicio trivial para la construcción de un objeto geométrico en $\mathbb{R}^3$ que no puede ser separada por una esfera, y aún así puede "derrumbarse".

                                           

En el espíritu de la construcción de Antoine collar, estos dos interrelacionadas tori no puede ser separada por una esfera (cualquier esfera que contiene un punto de un toro en su interior contendrá un punto de toro en su superficie), pero esto parece no tener relación con el hecho de que no se caiga a pedazos - si queremos eliminar un segmento de uno de los tori el objeto todavía no puede ser separada por una esfera, y, sin embargo, puede desmoronarse macroscópicamente.

                                           

El hecho que se menciona aquí que el complemento de que el collar no es simplemente conexa, y el hecho que se menciona aquí que hay lazos que no pueden ser disociados de que el collar no debe afectar si puede ser separado de cualquiera de las dos, ya que ambos son verdadero de nuestro rotos los anillos

Mi pregunta es esta: ¿Es posible que me deje saber:

1. Cómo me han entendido mal la separación por una esfera (por lo que todavía puede ser relevante para un objeto de ser capaz de caerse a pedazos),

2. ¿Qué propiedad Antoine collar satisface de modo que no puede caer aparte (si me he perdido este), o

3. Lo que realmente se entiende cuando se dice que es incapaz de caer aparte (si he entendido mal esto)

Answer 1

si queremos eliminar un segmento de uno de los tori el objeto todavía no puede ser separada por una esfera, y, sin embargo, puede desmoronarse macroscópicamente.

Bueno, seguro que sí. La observación clave es que la "esfera" significa "homeomórficos imagen de una esfera" en este contexto.

Gire el anillo con la parte eliminada (la "C") y tire de la en el tacto del anillo (la "O") a través de la pieza que falta. Entonces usted tiene dos componentes separados, la C y la S, que es fácil ver podría ser colocado en el interior y el exterior de una esfera. Vamos a poner la C en el interior y el S en el exterior.

Ahora, piense acerca de la reducción de esa esfera muy bien (pero no tocar) alrededor de la C, luego poner el C de nuevo donde estaba. Se ha separado el dos por el homeomórficos imagen de una esfera.

Piense acerca de si se trató de hacer esto con dos Os, como su primera figura. Si el sistema operativo no estaban entrelazados, claro, es fácil, igual que cuando el C y el O fueron separados. Pero si los dos Os están enclavados, no hay alguna forma para adaptarse a una esfera alrededor de uno de ellos de la misma manera como lo haría con la C. Y si no se puede hacer con sólo dos Os, ciertamente no se puede hacer con Antoine Collar. Por lo tanto, va a permanecer juntos.

Answer 2

El collar es un espacio topológico $X$, junto con un natural de la incrustación $i\colon X\to \Bbb R^3$. Desde que el verbo "desmoronarse" describe un proceso, puede ser mejor descrito por adición de tiempo como una variable. Así que nos preguntamos si hay una homotopy $H\colon X\times[0,1]\to\Bbb R^3$ tal que $H(\cdot,0)=i$ e $H(\cdot1)$ es una incrustación $X\to\Bbb R^3$ que está en un evidente de la moda separados, decir un no-vacía la parte de (la imagen de) $X$ es en el $z>0$ región, una no-parte vacía en la $z<0$ región, pero nada en la $z=0$ hyperplane. En lugar de una separación de avión, una separación de la esfera sin duda también cuentan (y, de hecho, ser un poco más general: dos esferas concéntricas no puede desmoronarse en el primer sentido, pero puede, en la segunda; ambas interpretaciones tienen un punto como el de la esfera interna, realmente no se caen, pero no está realmente vinculado al exterior de la esfera, ya sea ...)

Desconozco si la referencia de los autores tomaron esta homotopy-y la esfera de enfoque y overread la homotopy parte, o tal vez si tenían algún argumento de que la esfera de la propiedad de $i$ es suficiente en la situación dada (pero no en general, como sus ejemplos muestran).