¿Hay alguna explicación basada en la teoría algebraica de números que la integral $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{\left(e^x+e^{-x}+e^{ix\sqrt{3}}\right)^2}=\frac{1}{3}\etiqueta{1} $$ tiene una forma cerrada? La analítica de la prueba de esta integral se da en este MSE post, sin embargo esta prueba no explica por qué una apariencia similar integral $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix\sqrt{3}}\ dx}{\left(e^x+e^{-x}+e^{ix\sqrt{3}}\right)^3}=\frac{\sqrt{3}}{8\pi}\int_{0}^\infty\frac{dx}{\left(1+\frac{x^3}{1^3}\right)\left(1+\frac{x^3}{2^3}\right)\left(1+\frac{x^3}{3^3}\right)\ldots} $$ probablemente no tiene una forma cerrada. Es posible que $(1)$ está relacionado con Eisenstein enteros?
Formulación alternativa de la integral de la $(1)$ es $$ \int_0^\infty\frac{dt}{(1+t+t^{\,\alpha})^2}=\frac23, \quad \alpha=\frac{1+i\sqrt3}{2}. \etiqueta{1a} $$
