Esta pregunta me ha estado molestando por un tiempo y me parece que no puede hacer sentido de ella en un claro nivel conceptual.
La teoría de los locales de los anillos es dado por la toma de la teoría de anillos y la adición de los axiomas \begin{eqnarray} (0=1) \vdash \bot \\ x + y = 1 \vdash \exists z : (xz = 1) \vee \exists z : (yz = 1) \end{eqnarray} Esta teoría es geométrica y por lo tanto tiene una clasificación de topos $S[\text{Local Rings}]$. Con un poco de trabajo se puede demostrar que este topos en realidad está dada por la Zariski topos, es decir, dado como el topos de las Poleas en el Zariski sitio $CRing_{fp}^{op}$ de finitely presenta anillos con revestimientos dado por las particiones de la unidad.
Como una expresión algebraica aparejador con un conocido de la functor de puntos de VISTA que esto ya es un buen hecho, como esto básicamente significa que el esquema de la teoría es un directo consecuencia de la noción de un anillo local (esquemas pueden ser identificados con los manojos que pueden ser cubiertos por representables).
Pero esto no es donde termina la historia. Escribir $S[\text{Rings}]$ para la clasificación de los topos de la teoría de anillos. Un anillo de $R$ es equivalente a una forma geométrica de morfismos $\text{Sets} \rightarrow S[\text{Rings}]$ (eso es sólo cómo clasificar toposes se definen después de todo). También tenemos un geométrica de morfismos $S[\text{Local Rings}] \rightarrow S[\text{Rings}]$. Resulta que el topos de la teórica pullback a lo largo de esas dos geométrica de morfismos es sólo el topos de Poleas en $\text{Spec}(R)$. (Esto fue mencionado en este mathoverflow post por Peter Arndt) (EDIT: Como fue señalado por Simon Henry abajo, esto debe ser tomado con un grano de sal hasta que esté claro en qué sentido este retroceso es decir.)
$\require{AMScd}$ \begin{CD} Sh(Spec(R)) @>>> \text{Sets}\\ @V V V @VV V\\ S[\text{Local Rings}] @>>> S[\text{Rings}] \end{CD}
de ahí la construcción del espectro de un anillo de la siguiente manera directa a partir de la observación de las fibras de la geométrica de morfismos $S[\text{Local Rings}] \rightarrow S[\text{Rings}]$. El lema es "el espectro de un anillo universal es la forma de hacer el anillo en un anillo local" (el correspondiente anillo local está dada por la estructura de la gavilla, que es un anillo local interna a $Sh(Spec(R))$ e impartido por el geométrica de morfismos $Sh(Spec(R)) \rightarrow S[\text{Local Rings}]$).
Por otra parte, localmente anillado espacios como casos especiales de localmente anillado topoi son considerados por algunos autores como la noción de derecho a un "geométrica" de espacio - por ejemplo Jacob Lurie generaliza los conceptos básicos de la geometría de los más altos de la geometría usando localmente anillado espacios. Hay una natural noción de lo que significa ser localmente isomorfo a un determinado localmente anillado espacio y el concepto de suave múltiples, complejas analíticas colector y también el esquema de derivarse naturalmente de que. La categoría de localmente anillado topoi es simplemente el overcategory (o porción de la categoría) de $\text{Topos}$ sobre $S[\text{Local Rings}]$ - una bonita hecho es que esto automáticamente le da a la noción de derecho de un buen mapa entre suave colectores, holomorphic mapa entre el complejo de la analítica de los colectores, etc.
Algunas otras observaciones desde el lado constructivista de las matemáticas que se álgebra lineal constructiva de la configuración funciona mejor local de los anillos (como hay diferentes nociones de campo en la construcción de las matemáticas).
Así que venga a mi pregunta: ¿Qué está pasando aquí? Déjame ser específico: puedo comprender el concepto de un grupo como una descripción sintáctica de lo que queremos decir con las simetrías de un objeto - lo que es la esencia de un anillo local? ¿Qué parte de nuestra intuición humana de hacer que describen de forma natural?
Un pequeño comentario: No es una respuesta parcial a encontrarse en la siguiente: Un anillo local tiene una canónica de apartness relación $x \# y$ donde $x \# y$ fib $x-y$ es invertible. De hecho, un anillo de objeto en la categoría de conjuntos equipado con apartness relaciones es la misma cosa como un anillo local. Sin embargo, estoy todavía no satisfecho con esto.
