Antecedentes
Tomemos 2 conjuntos convexos en $\mathbb{R}^2$ o 3 conjuntos convexos en $\mathbb{R}^3$ o en general, $n$ conjuntos convexos en $\mathbb{R}^n$ . "Volumen mixto" asigna a dicha familia $A_1, \ldots, A_n$ un número real $V(A_1, \ldots, A_n)$ , medido en $\mathrm{metres}^n$ .
Según tengo entendido, el volumen mixto es una especie de primo del determinante. Daré la definición en un momento, pero primero aquí hay algunos ejemplos.
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$V(A, \ldots, A) = \mathrm{Vol}(A)$ para cualquier conjunto convexo $A$ .
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De forma más general, supongamos que $A_1, \ldots, A_n$ son todas escalas de un único conjunto convexo (de modo que $A = r_i B$ para algunos convexos $B$ y $r_i \geq 0$ ). Entonces $V(A_1, \ldots, A_n)$ es la media geométrica de $\mathrm{Vol}(A_1), \ldots, \mathrm{Vol}(A_n)$ .
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Los ejemplos anteriores no muestran cómo el volumen mixto depende normalmente de la interacción entre los conjuntos. Así, tomando $n = 2$ , dejemos que $A_1$ ser un $a \times b$ rectángulo y $A_2$ a $c \times d$ rectángulo en $\mathbb{R}^2$ con sus aristas paralelas a los ejes de coordenadas. Entonces $$ V(A_1, A_2) = \frac{1}{2}(ad + bc). $$ (Compare y contraste la fórmula del determinante $ad - bc$ .)
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De forma más general, tomemos los paralelepípedos de eje paralelo $A_1, \ldots, A_n$ en $\mathbb{R}^n$ . Escriba $m_{i1}, \ldots, m_{in}$ para las longitudes de los bordes de $A_i$ . Entonces $$ V(A_1, \ldots, A_n) = \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} m_{1, \sigma(1)} \cdots m_{n, \sigma(n)}. $$ (De nuevo, compara y contrasta la fórmula del determinante).
La definición de volumen mixto depende de un teorema de Minkowski: para cualquier conjunto compacto convexo $A_1, \ldots, A_m$ en $\mathbb{R}^n$ la función $$ (\lambda_1, \ldots, \lambda_m) \mapsto \mathrm{Vol}(\lambda_1 A_1 + \cdots + \lambda_m A_m) $$ (donde $\lambda_i \geq 0$ y $+$ significa suma de Minkowski) es un polinomio homogéneo de grado $n$ . Para $m = n$ el volumen mixto $V(A_1, \ldots, A_n)$ se define como el coeficiente de $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$ en este polinomio, dividido por $n!$ .
¿Por qué elegir este coeficiente en particular? Porque resulta que lo dice todo, en el siguiente sentido: para cualquier conjunto convexo $A_1, \ldots, A_m$ en $\mathbb{R}^n$ , $$ \mathrm{Vol}(\lambda_1 A_1 + \cdots + \lambda_m A_m) = \sum_{i_1, \ldots, i_n = 1}^m V(A_{i_1}, \ldots, A_{i_n}) \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n}. $$
Propiedades del volumen mixto
Formalmente, dejemos que $\mathscr{K}_n$ sea el conjunto de subconjuntos convexos compactos no vacíos de $\mathbb{R}^n$ . Entonces el volumen mixto es una función $$ V: (\mathscr{K}_n)^n \to [0, \infty), $$ y tiene las siguientes propiedades:
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Volumen: $V(A, \ldots, A) = \mathrm{Vol}(A)$ . (Aquí y abajo, las letras $A$ , $A_i$ etc., se entenderá que se extiende sobre $\mathscr{K}_n$ y $\lambda$ , $\lambda_i$ etc. serán reales no negativos).
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Simetría: $V$ es simétrico en sus argumentos.
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Multilinealidad: $$ V(\lambda A_1 + \lambda' A'_1, A_2, \ldots, A_n) = \lambda V(A_1, A_2, \ldots, A_n) + \lambda' V(A'_1, A_2, \ldots, A_n). $$ (Estas tres primeras propiedades se parecen mucho a una caracterización estándar de los determinantes).
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Continuidad: $V$ es continua con respecto a la métrica de Hausdorff en $\mathscr{K}_n$ .
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Invarianza: $V(gA_1, \ldots, gA_n) = V(A_1, \ldots, A_n)$ para cualquier isometría $g$ del espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ en sí mismo.
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Multivaluación: $$ V(A_1 \cup A'_1, A_2, \ldots, A_n) = V(A_1, A_2, \ldots) + V(A'_1, A_2, \ldots) - V(A_1 \cap A'_1, A_2, \ldots) $$ siempre que $A_1, A'_1, A_1 \cup A'_1 \in \mathscr{K}_n$ .
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Monotonicidad: $V(A_1, A_2, \ldots, A_n) \leq V(A'_1, A_2, \ldots, A_n)$ siempre que $A_1 \subseteq A'_1$ .
Hay otras propiedades básicas, pero me detendré en ellas.
Preguntas
Es $V$ la función única $(\mathscr{K}_n)^n \to [0, \infty)$ que satisfaga las propiedades 1--7?
Si es así, ¿basta con algún subconjunto de estas propiedades? En particular, ¿son suficientes las propiedades 1 a 3?
Si no es así, ¿existe una caracterización similar que implique diferentes propiedades?
(Cuando estaba escribiendo esta pregunta, encontré un artículo reciente de Vitali Milman y Rolf Schneider: Caracterización del volumen mixto . No creo que responda a mi pregunta, aunque me da la impresión de que la respuesta podría ser desconocida).
