Función cero no única en el espacio de funciones (espacio de Hilbert)

Question

Acabo de empezar a estudiar sobre la mecánica cuántica, y estaba estudiando la definición del producto interior de las funciones; también soy bastante nuevo en el álgebra lineal. Mientras estudiaba creo que encontré una contradicción en la definición de los productos internos entre funciones, y no puedo resolverla. Estoy siguiendo el libro de texto "Matemáticas para la Física de Frederick Byron". El libro define los productos internos como: (el espacio de funciones se define sobre el intervalo $[a, b]$ donde $a,b \in \mathbb{R}$ )

$$ \langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f^*(x) g(x) dx $$

Y, por supuesto, el libro demuestra el hecho de que el espacio de funciones (el conjunto de funciones cuadradas integrables sobre algún intervalo $[a, b]$ ) es de hecho un espacio vectorial.

Hasta donde yo sé, como consecuencia de la definición de los espacios vectoriales, el vector cero (o la función cero) tiene que ser único. Además, en base a la definición de los productos internos, la siguiente condición debe cumplirse siempre:

$$ \langle f,f \rangle = 0 \iff f=0 $$

Sin embargo, en el libro de texto los autores señalan que $f$ podría ser una función que es distinta de cero en un conjunto de puntos con una medida de Lebesgue de 0, y $\langle f,f\rangle$ seguiría siendo $0$ .

Si la definición del $0$ se cambia de una función que es $0$ para todos $x \in [a, b]$ a una función que sólo es distinta de cero en un conjunto con una medida de Lebesgue nula, entonces esta cuestión se resolverá y la definición de productos internos será válida.

Pero esto también implica que la función cero ya no es única, contradiciendo el hecho de que el espacio de funciones es un espacio vectorial.

¿Cuál es mi error? ¿Cómo podemos satisfacer ambas condiciones (vector único cero y la propiedad del producto interior de que sólo la función cero tiene una norma de 0) sin llegar a una contradicción?

Le agradezco su ayuda. Entiendo que esta pregunta podría ser más una pregunta de matemáticas que de física, pero teniendo en cuenta que el problema es relevante para la base de la mecánica cuántica creo que Physics Stack Exchange es el lugar más apropiado para esta pregunta.

Answer 1

Precisamente por eso, el $L^2(\mathbb R)$ es no simplemente el espacio de las funciones cuadradas-integrables de $\mathbb R$ a $\mathbb C$ (que podríamos llamar $SI(\mathbb R)$ ).

$SI(\mathbb R)$ consiste en todas las funciones $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb C $ tal que $\int_\mathbb{R} |f(x)|^2 dx$ existe y es finito. Pero, como se observa, si se intenta convertirlo en un espacio de Hilbert, se tropieza con problemas. La solución es definir una relación de equivalencia $\sim$ en $SI(\mathbb R)$ , por lo que $f \sim g$ si $f(x)\neq g(x)$ sólo en un conjunto de medida de Lebesgue cero, es decir, $f\sim g$ si están de acuerdo casi en todas partes .

A partir de ahí, defina $L^2(\mathbb R)$ como el conjunto de cocientes $SI(\mathbb R)/\sim$ cuyos elementos son clases de equivalencia de funciones cuadradas-integrables bajo la relación de equivalencia $\sim$ . Esto resuelve la ambigüedad: las funciones $f(x)=0$ y $g(x)=\begin{cases}1 & x=0\\ 0& x\neq 0\end{cases}$ son diferentes elementos de $SI(\mathbb R)$ pero son dos representantes equivalentes del mismo elemento de $L^2(\mathbb R)$ .

Answer 2

Este es un punto importante que normalmente se esconde bajo la alfombra en las clases de introducción.

Los elementos del espacio funcional de Hilbert utilizados en la Mecánica Cuántica (llamados $L^2[{\mathbb R}]$ en la literatura matemática) no son realmente funciones, sino más bien clases de equivalencia de funciones tales que $f_1\sim f_2$ si $f_1$ y $f_2$ difieren por una función $\zeta(x)$ de longitud cero, es decir, si $f_1(x)=f_2(x)+ \zeta(x)$ donde $\int |\zeta(x)|^2 dx=0$ . Como todas las "funciones cero" se diferencian por funciones de longitud cero, se consideran "iguales", por lo que el "vector cero" se convierte en único.

En consecuencia, las funciones de onda $\psi(x)$ no tienen valores reales en ningún punto $x$ . Sólo las integrales sobre regiones tienen valores numéricos. Esto nos lleva a otros problemas como qué entendemos por condiciones de contorno $\psi(x)=0$ en la ecuación de Schroedinger? Son cuestiones que se responden en los libros de análisis funcional, pero que se consideran demasiado difíciles para los cursos de pregrado de QM.

Answer 3

El error está en suponer que el conjunto base del espacio de Hilbert $V$ "físicamente" se compone de funciones directamente. Lo hace no. La formación del espacio de funciones cuadradas-integrables de Lebesgue es sólo el primer paso para construir el espacio de Hilbert.

El segundo paso es identificar funciones que sólo difieren en conjuntos de medida de Lebesgue cero como si fueran la misma función: es decir, definir una relación de equivalencia

$$f \sim g := \left[\mu_L\left(\{ u \in \mathbb{R} : f(u) \neq g(u) \}\right) = 0\right]$$

donde $\mu_L$ es la medida de Lebesgue y estamos midiendo el tamaño del conjunto de puntos en los que las dos funciones son iguales, y formando una expresión booleana preguntando si la medida es cero. Luego se toma el cociente del conjunto de todas las funciones semejantes por esta relación.

Así, los miembros del espacio de Hilbert -los vectores ket- son no funciones, pero clases de equivalencia $[f]_\sim$ de funciones $f$ bajo esta relación. El elemento cero no es $u \mapsto 0$ sino que $[u \mapsto 0]_\sim$ (utilizando la notación de función anónima). Así, una función como $\mathbf{1}_{S_C}$ la función indicadora del conjunto de Cantor $S_C$ también está en $[u \mapsto 0]_\sim$ y por lo tanto es un representante alternativo para esa misma clase de equivalencia y por lo tanto una alternativa representación del vector cero (ket), no el definición formal de la misma. O para ponerlo en lenguaje formal,

$$|\rangle := [u \rightarrow 0]_\sim$$

.

Answer 4

Lo que se intenta definir es el espacio $L^2(\Omega)$ para algún conjunto $\Omega$ . Su duda es legítima. De hecho, la forma correcta de definir los elementos de dicho espacio es mediante clases de equivalencia. Un elemento de dicho espacio no es estrictamente una función, sino una clase de equivalencia de funciones que difieren en un conjunto de medida cero. El vector cero es la clase de equivalencia de las funciones que son cero en casi todas partes.