Es cada una de las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ diferenciable en un punto cuando se limita a algunos en todas partes subconjunto denso de $\mathbb R$?

Question

Yo estaba haciendo un poco bastante simple investigación hace unas horas y casi me hicieron una pregunta similar con la palabra continuo en lugar de derivable en el título, pero luego me encontré con esta pregunta se le preguntó por Gro-Tsen donde hay una respuesta afirmativa a esa pregunta.

Al parecer, ese es el resultado de Blumberg, que por cada $f: \mathbb R \to \mathbb R$ existe un subconjunto denso $D$ de $\mathbb R$ tal que $f|_D$ es continua.

Blumbergs de papel se pueden encontrar aquí y tengo un poco hizo una investigación de sus argumentos, sin embargo, no estoy seguro de que puede ser adaptado para mostrar que $f$ es diferenciable en un punto cuando se limita a algunos en todas partes subconjunto denso de $\mathbb R$.

Honestamente, creo que hay algunos $f$s que tienen la propiedad de que cuando se limita a cada posible en todas partes subconjunto denso de $\mathbb R$ son no-diferenciable en todas partes en todos los conjuntos de

Sin embargo, no estoy seguro, y es por eso que lo pregunto aquí, ya que creo que eso es conocido, porque Blumbergs resultado es relativamente hace mucho tiempo establecido (1922).

Aquí está la pregunta:

• Es cierto que para toda función de $f: \mathbb R \to \mathbb R$ existe al menos una en todas partes denso conjunto de $D \subseteq \mathbb R$ tal que $f|_D$ es diferenciable en un punto?

Answer 1

La respuesta es no. Esto es debido a que, si $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ es continua, diferenciable de la función, a continuación, $f \!\restriction\! Q$ es diferenciable, por cualquier denso $Q \subseteq \mathbb R$.

Para ver esto, arreglar $x \in \mathbb R$ y, que apunta a una contradicción, supongamos $f \!\restriction\! Q$ es diferenciable en $x$, dicen que con derivados $c \in \mathbb R$.

Deje $\varepsilon > 0$. Debido a $f \!\restriction\! Q$ es diferenciable en $x$, hay algunos $\delta > 0$ tal que para todos los $y \in Q \setminus \{x\}$ con $|x-y| < \delta$, tenemos $|\frac{f(y) - f(x)}{y-x} - c| < \varepsilon$.

Debido a $f$ no es diferenciable en $x$, y, en particular, no han derivado igual a $c$ a $x$, hay algunos $z_0 \in \mathbb R \setminus \{x\}$ con $|x-z_0| < \delta$ tal que $|\frac{f(z_0) - f(x)}{z_0-x} - c| > 2\varepsilon$.

Debido a $f$ es continua en $\mathbb R$, la función de $z \mapsto |\frac{f(z) - f(x)}{z-x} - c|$ es continua en $\mathbb R \setminus \{x\}$. Esto significa que $\lim_{z \rightarrow z_0} |\frac{f(z) - f(x)}{z-x} - c| = |\frac{f(z_0) - f(x)}{z_0-x} - c| > 2\varepsilon$. Por lo tanto, hay algo de $\eta < \delta-|x-z_0|$ que si $|z_0-z| < \eta$ entonces $|\frac{f(z) - f(x)}{z-x} - c| > \varepsilon$.

Deje $z \in Q$ con $|z-z_0| < \eta$. Luego tenemos a $|x-z| < \delta$ mientras $|\frac{f(z) - f(x)}{z-x} - c| > \varepsilon$. Esto contradice nuestra selección de $\delta$.