Un problema sobre la fórmula de Gauss--Bonnet

Question

Mientras enseñaba un curso de geometría diferencial, se me ocurrió el siguiente problema, que me parece genial.

Supongamos que $\gamma$ es una geodésica cerrada en una esfera $\Sigma$ con curvatura de Gauss positiva. ¿Puede parecerse a una de las siguientes curvas en una parametrización de $\Sigma\backslash\{\text{point}\}$ por el avión?

Espero que haya un teorema que responda a todas las preguntas como ésta. ¿Es realmente así?

$$ $$

P.D. La primera curva no puede aparecer ya que por la fórmula de Gauss--Bonnet, la suma de los ángulos del triángulo es $>\pi$ . Hace la integral de la curvatura de Gauss dentro de los bucles $>4{\cdot}\pi$ que es imposible.

La segunda curva no puede aparecer también, una prueba está esbozada en mi respuesta. (Por favor, hágame saber si usted ve una manera de simplificar la prueba).

Para la tercera es fácil producir un ejemplo --- digamos que un elipsoide tiene tal geodésica.

Answer 1

Aquí, trato de dar un ejemplo para cada una de las curvas número uno y tres con un poliedro convexo donde sólo dibujo la red. Las geodésicas son las líneas de puntos (que son rectas en la red). Creo que también se puede construir la segunda cambiando los ángulos del triángulo del primer ejemplo.

No conozco ningún teorema que dé una respuesta general a tu pregunta. Lo único que sé es que si no tienes una estimación trivial que diga que en un subconjunto $B$ , $\int_B K \geq 4\pi $ entonces deberíamos ser capaces de construir un ejemplo.

EDIT : Solo doy algunos detalles de lo que dice anton en su comentario : en cada bucle pequeño la integral de curvatura es $\pi+\alpha_i$ con $\alpha_i$ el ángulo del cruce. Como la curvatura es positiva la suma de los ángulos del triángulo es mayor que $\pi$ y entonces la curvatura total es mayor que $3\pi+ \sum \alpha_i > 4\pi$ . (Sin embargo, con un poliedro aún podemos obtener una igualdad)

Answer 2

He aquí una idea a medias que implica superficies mínimas (cuando tenga tiempo veré si puedo darle un poco más de sentido).

Consideremos el colector compacto de tres $M=\Sigma \times \mathbb{S}^1$ con la métrica del producto $g+d\theta^2$ . Esta métrica tiene curvatura escalar positiva. Sea $\Pi: M\to \Sigma$ sea el mapa de proyección natural y observe que la curvatura escalar de $M$ satisface $$ R_M(p)=R_{\Sigma}(\Pi(p))=2K_{\Sigma}(\Pi(p)). $$

Obviamente, para cualquier $\epsilon>0$ podemos perturbar la curva $\gamma\subset \Sigma\times \{ 0\}$ a $\gamma_\epsilon$ una curva incrustada en $M$ para que $\gamma_\epsilon$ tiene $C^3$ norma dentro de $\epsilon$ de $\gamma$ y $\Pi(\gamma_\epsilon)=\gamma$ . En particular, la curvatura geodésica de $\gamma_{\epsilon}$ satisface $\kappa_{\gamma_\epsilon}=o(\epsilon)$ .

Ahora dejemos que $\Gamma_{\mathbb{Z}}(\epsilon)$ sea la solución GMT del problema de la meseta con límite $\gamma_\epsilon$ que se obtiene minimizando en el espacio de las corrientes integrales de coeficiente entero y que $\Gamma_{\mathbb{Z}_2}(\epsilon)$ sea la solución obtenida al minimizar en el espacio de $\mathbb{Z}_2$ corrientes integrales de coeficiente. Por la teoría de la regularidad estándar, por estas son superficies lisas con límite $\gamma_\epsilon$ -- $\Gamma_{\mathbb{Z}}$ es orientable mientras que $\Gamma_{\mathbb{Z}_2}$ no tiene por qué serlo. Además, por los argumentos estándar de compacidad se tiene que como $\epsilon\to 0$ , $\Gamma_{\mathbb{Z}}(\epsilon)\to \Gamma_{\mathbb{Z}}$ donde $\Gamma_{\mathbb{Z}}$ es el minimizador (en el espacio de $\mathbb{Z}$ -corrientes) con límite $\gamma$ y puede considerarse como un mapa continuo desde $\Sigma\backslash \gamma\to \mathbb{Z}$ (la función cuenta la multiplicidad). De manera similar, $\Gamma_{\mathbb{Z}_2}(\epsilon)\to \Gamma_{\mathbb{Z}_2}$ donde $\Gamma_{\mathbb{Z}_2}$ es el minimizador en $\mathbb{Z}_2$ corrientes

Dejemos que $p_1, \ldots, p_N$ sean los puntos de autointersección de $\gamma$ . Por las estimaciones estándar de regularidad de los límites, lejos de $p_1, \ldots, p_N$ la convergencia de $\Gamma_{\mathbb{Z}}(\epsilon)$ es suave (por lo que $|A_{\Gamma_{\mathbb{Z}}(\epsilon)}|=o(\epsilon)$ mientras que por un argumento de soplado se debería tener $$ \int_{\Gamma_{\mathbb{Z}}(\epsilon)\cap B_{\delta}(p_i)} \frac{1}{2}|A_{\Gamma_{\mathbb{Z}}(\epsilon)}|^2 = 2\pi \theta_i +o(\epsilon)+o(\delta) $$ donde aquí $\theta_i\in [0, 1]$ está relacionado con el ángulo que $\gamma$ hace en $p_i$ y también a lo que $\Gamma_{\mathbb{Z}}$ parece. Lo mismo ocurre con $\Gamma_{\mathbb{Z}_2}(\epsilon)$ aunque los valores de $\theta_i$ puede ser diferente.

Por las ecuaciones de Gauss se tiene $$ Ric_M(\nu,\nu)=\frac{1}{2} (R_M-K_{\Gamma_{\mathbb{Z}}(\epsilon)}-|A_{\Gamma_{\mathbb{Z}}(\epsilon)}|^2). $$ Aviso $Ric_M(\nu,\nu)=o(\epsilon)$ lejos de $p_1,\ldots, p_N$ y $Ric_M(\nu,\nu)=O(1)$ cada donde y se tiene límites de área uniformes. Por lo tanto, integrando esta fórmula, utilizando Gauss Bonnet y las propiedades de convergencia anteriores se obtiene $$ 2\pi \geq 2\pi \chi(\Gamma_{\mathbb{Z}}(\epsilon)) = \int_{|\Gamma_{\mathbb{Z}} |} K_{M}-2\pi \sum_{i=1}^N \theta_i +o(\epsilon). $$ (donde la integral sobre $|\Gamma_\mathbb{Z}|$ significa contar la multiplicidad pero no el signo. De manera similar, $$ 2\pi\geq 2\pi \chi(\Gamma_{\mathbb{Z}_2}(\epsilon)) = \int_{|\Gamma_{\mathbb{Z}_2} |} K_{M}-2\pi \sum_{i=1}^N \theta_i +o(\epsilon). $$

Sospecho que la resolución del problema de la meseta adecuada para $\gamma$ (Me siento $\mathbb{Z}_2$ coeficientes podría ser más esclarecedor) debería dar obstáculos.

EDITAR:

Creo que puedo utilizar este cálculo (con $\mathbb{Z}$ coeficientes) para descartar la segunda cifra. Puede que me haya equivocado y también es posible que si esto es correcto todavía se pueda demostrar con argumentos más elementales...

Etiquetar los componentes de $\Sigma\backslash \gamma$ de la siguiente manera: El lóbulo superior (es decir, el invertido) es $A$ El lóbulo izquierdo es $B$ el lóbulo derecho es $C$ la componente acotada restante (en la figura) es $D$ y el componente no limitado es $E$ . Denotemos los puntos de autointersección $p_A$ , $p_B$ y $p_C$ (así $p_A$ es el punto de autointersección superior, $p_B$ la izquierda y $p_C$ el derecho). Etiquetar el ángulo dentro del lóbulo $A$ en $p_A$ , $\phi_A$ y que $\phi_B$ y $\phi_C$ sean similares.

Si he calculado bien las cosas, un $\mathbb{Z}$ El minimizador debe ser $-2A-D+B+C$ o $2B+2C-A+E$ .

Consideremos el primer caso. El análisis de la explosión implica que el $\theta_A$ es igual a $0$ en $p_A$ en este caso (ya que hay dos hojas). Por otro lado, $\theta_B=\frac{1}{\pi} \phi_B$ y $\theta_C=\frac{1}{\pi} \phi_C$ Por lo tanto, la fórmula da $$ 2\pi-4\pi g= 2\int_A K_\Sigma+ \int_B K_\Sigma+\int_C K_\Sigma+\int_D K_\Sigma -2 \phi_B-2\phi_C $$ Ahora por Gauss-Bonnet tenemos $$ 2\pi =\int_{E} K_\Sigma +\pi-\phi_A+ 2\phi_B+2\phi_C $$ por lo que al introducir la primera fórmula se obtiene $$ 2\pi -4\pi g= 2\int_A K_\Sigma+ \int_B K_\Sigma+\int_C K_\Sigma+\int_D K_\Sigma+\int_{E} K_\Sigma +\pi-\phi_A-2\pi\\=2\pi+\int_A K_\Sigma+\pi-\phi_A $$ La curvatura positiva significa que la RHS es $>2\pi$ y da una contradicción.

En el segundo caso, se tiene $\theta_B=\theta_C=0$ y $\theta_A=\frac{1}{\pi} \phi_A$ . La fórmula da $$ 2\pi-4\pi g= \int_A K_\Sigma+ 2\int_B K_\Sigma+ 2\int_C K_\Sigma +\int_E K_\Sigma -2 \phi_A $$

Gauss-Bonnet aplicado a $A\cup D$ da $$ 2\pi=\int_A K_\Sigma+\int_D K_\Sigma+ \pi-\phi_B+\pi-\phi_C+ \phi_A-\pi $$ Sumando las dos ecuaciones se obtiene $$ 4\pi(1-g)= 4\pi +\int_{A} K_\Sigma+ \int_B K_\Sigma +\int_C K_\Sigma +\pi-\phi_B+\pi-\phi_C-\phi_A-\pi\\ =10\pi $$ donde la segunda igualdad utiliza Gauss-Bonnet para ver que $$ 2\pi=\int_A K_\Sigma+ \pi-\phi_A=\int_B K_\Sigma+ \pi-\phi_B=\int_C K_\Sigma+ \pi-\phi_C. $$ Esto también es obviamente imposible (estoy un poco preocupado porque no he utilizado la curvatura positiva en este caso).