"una forma que ... está a medio camino entre un cuadrado y un círculo"

Question

Un artículo en el Avisos de la AMS Volumen 61, número 10, 2014 ( Enlace de descarga del PDF ), sobre la Conjetura de los Juegos Únicos de Khot, dice esto:

Otro grupo... encontró una forma que, en cierto sentido, se encuentra a medio camino entre un cuadrado y un círculo (aunque en muchas más de dos dimensiones). Al igual que un cuadrado, se pueden colocar copias horizontalmente y verticalmente para llenar un espacio espacio entero sin huecos ni solapamientos, formando una espuma multidimensional. Pero su perímetro es mucho más pequeño que el de un cuadrado: se acerca más al de un círculo, el objeto que tiene el perímetro más pequeño para el superficie contenida.

¿Podría alguien explicar mejor esta enigmática descripción o proporcionar una referencia a la obra original? Gracias.

(Esta cuestión está relacionada con mi anterior pregunta [respondida], " Red plana óptima para capturar formas convexas .")

Answer 1

Se trata de un trabajo de Guy Kindler, Ryan O'Donnell, Anup Rao y Avi Wigderson, publicado en Cubos esféricos y redondeo en altas dimensiones (2008), y en Cubos esféricos: Espumas óptimas a partir de la amplificación computacional de la dureza (2012).

Los problemas de la espuma se refieren a cómo se puede dividir el espacio en "burbujas" que minimicen la superficie. Investigamos el caso en el que una burbuja de volumen unitario es necesaria para embaldosar $d$ -espacio dimensional de forma periódica de forma periódica según el entramado cúbico estándar. Mientras que un cubo requiere una superficie $2d$ Construimos una burbuja que tiene superficie muy cercana a la de una esfera; es decir, proporcional a $\sqrt d$ (el mínimo posible incluso sin la restricción de periodicidad periodicidad). Nuestro método para construir este "cubo esférico" tiene una inspiración sorprendente: cuestiones fundacionales de la teoría de la de la computación, concretamente la cuestión de la "amplificación de la dureza". En Además, mostramos una aplicación algorítmica de nuestra nueva espuma: un método para la "discretización coordinada" de puntos de datos de alta dimensión que tiene una resistencia casi óptima al ruido. Por último, proporcionamos la espuma cúbica más cúbica más eficiente que se conoce en 3 dimensiones.

Answer 2

Sólo para complementar la respuesta de Carlo con una figura que ilustra esta forma intermedia cubo-esfera en $\mathbb{R}^3$ , de el documento de 2012 cita-"proporcionamos la más eficiente conocida en 3 dimensiones":

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