Tiene la conformemente campo teórico de la métrica en un Calabi-Yau variedad ha demostrado que existen?

Question

Deje $(X,g)$ ser un equipo compacto Kähler colector. La física nos permite considerar un supersimétricas sigma modelo con destino $(X,g)$, que es un N=2 dos dimensiones de la teoría de campo. A partir de las dos dimensiones punto de vista, la métrica $g$ puede ser thougt como una constante de acoplamiento. En la clásica de nivel, esta teoría es invariantes conformes. Pero es sabido que, en la teoría cuántica, la constante de acoplamiento son, en general, normaliza: sólo hay un eficaz constante de acoplamiento que depende de la escala de la energía $\mu$. Aquí tenemos un eficaz métrica $g(\mu)$. La dependencia de la $\mu$ de % de $g(\mu)$ es controlado por una ecuación diferencial de la forma $dg/d(log \mu)= \beta(g)$ cuando la función beta $\beta$ puede ser calculada de la orden por orden de teoría de perturbaciones. Por definición, la teoría cuántica será conformada en el fib, la función beta se desvanece. En el primer orden de teoría de perturbaciones, $\beta$ es proporcional a la curvatura de Ricci y así uno puede solucionar $\beta=0$ si $X$ es de Calabi-Yau ($c_{1}(X)=0$) y no hay una única hasta el escalado de tal solución en cada Kähler clase $[\omega]$ (por Yau la prueba de la Calabi conjetura). Pero en general, no son correcciones de orden superior. Uno puede mostrar que la Kähler clase permanece sin cambios, pero este no es el caso de la métrica en esta clase. Si se puede resolver la ecuación de $\beta = 0$ orden por orden de teoría de perturbaciones y demostrar que las soluciones que convergen, entonces esto debe definir en cada Kähler clase de $X$ una única métrica $g_{CFT}$.

Todo esto es bien conocido a partir de mediados de los 80. En este momento, no era un artículo de Nemeschansky y Sen, "la invariancia conforme de supersimétricas $\sigma$-modelos de Calabi-Yau colectores", que, tengo la impresión, ha cerrado la cuestión entre los físicos. En este artículo, se demuestra que uno puede solucionar $\beta =0$ orden por orden pero no hay ningún resultado de la convergencia (tal y como yo lo entiendo). Así que mi pregunta es:

Ha $g_{CFT}$ sido matemáticamente demostrado que existen?

Como la expansión perturbativa sólo es válido para las grandes Kähler clase, es probable que este tipo de restricción es necesaria. Tal vez una mejor pregunta es: es la expansión perturbativa espera que convergen una gran Kähler clase, o es que sólo algunos asintótica de expansión (como a menudo es el caso, por ejemplo pregunta en perturbativa de la teoría cuántica de campos)? En cualquier caso, la cuestión de la existencia de $g_{CFT}$ está bastante bien planteado matemáticamente y me gustaría saber si ha sido estudiado/resuelto. Cualquier referencia que será apreciado.

Answer 1

Al mejor de mi conocimiento de la literatura sobre este tema, la respuesta es: no realmente (un par de excepciones que aparecen a continuación). Primero, permítanme dar un riguroso planteamiento del problema: la ecuación de $\beta = 0$ puede ser expresado como

$\sum_{k=0}^{\infty} \epsilon^k \beta_k = 0$,

donde $\epsilon$ es un parámetro físico que uno se imagina es "pequeña" y en que $\beta_k$
es simétrica, dos tensor según una métrica de Riemann, la cual surge como una cierta expresión universal en el tensor de curvatura y sus derivados, y que además obedece a una escala naturales de la ley natural y un "homogeneidad" en términos de número de derivados de $g$ que son necesarios para expresarlo. Estos términos $\beta_k$ son computables en teoría, a pesar de que mi entendimiento es que esto solo ha sido hecho en una fragmentariamente por los primeros términos. Hay muchas referencias, uno puede encontrar fácilmente que hacer esto para este y otros modelos sigma. Los dos primeros términos son $\beta_0 = \mbox{Vol}(M) g$, $\beta_1 = \mbox{Rc}$, el plazo $\beta_2$ es una expresión cuadrática en el tensor de curvatura. Teniendo en cuenta la ecuación a fin de $k$ en la $\epsilon$ la expansión de la energía se conoce en física de la literatura como "a a $k$-loops".

Así, con este telón de fondo, hay, al menos, dos interesantes preguntas que uno se puede preguntar:

1) Dada $N \in \mathbb N \cup \{\infty\}$, se puede construir en un colector de una solución a $\sum_{k=0}^N \epsilon^k \beta_k = 0$?

2) ¿se Puede construir en un colector de una familia de un parámetro de Riemann de las métricas de la satisfacción de $\frac{\partial g}{\partial t} + \sum_{k=0}^N \epsilon^k \beta_k = 0$?

La pregunta original era: 1) anterior, pero 2) es tan importante en la física de la literatura (AFAIK). Por supuesto, el caso de $N=1$ de la pregunta 1) corresponde a la solución de los habituales de Riemann ecuación de Einstein (aunque uno puede necesitar para justificar ignorando el plazo$k=0$, en algunos casos, que los físicos tienen formas de hacer). En el Kähler establecer la métrica puede venir de la Calabi-Yau teorema como el cartel declaró. Para la pregunta 2), el caso de $N=1$ corresponde a la (debidamente normalizado) flujo de Ricci ecuación.

Ahora que tengo correctamente declaró la pregunta, permítanme decir que me voy a centrar en el estudio de elíptica/ecuaciones parabólicas en los colectores, y por un tiempo se interesó en exactamente esta pregunta. Después de que gran parte de la literatura de excavación, sólo he encontrado un par de matemática rigurosa de los resultados:

http://arxiv.org/abs/0904.1241

http://arxiv.org/abs/1108.0526

http://arxiv.org/abs/1205.6507

El primer documento se considera el caso de $N=2$ de la pregunta 2). En este caso, el operador sigue de segundo orden, y así, en especial configuración de la ecuación se puede representar parabólico y, a continuación, conoce las técnicas pueden ser aplicadas. Este trabajo es sin duda interesante, aunque las técnicas no puede ser extendida a $N > 2$. Los dos últimos documentos de la dirección de la homogeneidad de configuración.

Moviéndose más allá de $N = 2$ es, en mi humilde opinión, extremadamente difícil de una PDE punto de vista, ya que uno se tiene muy poca información sobre la forma de los términos de $\beta_k$ más allá de la general cualitativa declaraciones que hice anteriormente. Por ejemplo, una interesante pregunta es: ¿existen arbitrariamente grandes valores de $k$ para que $\beta_k$ corresponde a un operador elíptico de una métrica de Riemann? Esto es cierto para $k=1$, pero creo que es muy poco probable que sea cierto para los mayores $k$ ya que creo que es "conocido" en la física sentido de que todos los términos que surgen en $\beta_k$ para $k > 1$ son al menos cuadrática combinaciones de curvatura y derivados. I. e., uno no puede esperar que un término como $\Delta \mbox{Rc}$ a aparecer, lo que sería elíptica.

Uno puede imaginar teniendo en cuenta el caso $N > 2$ a espacios homogéneos, en donde, en principio, las ecuaciones se reducen a un sistema de educación a distancia, pero de nuevo no tiene mucho en el camino de la comprensión de la forma de la expresión general $\beta_k$.

No es inconcebible que si uno empieza con decir una Ricci plana métrica, y se permite que elija $\epsilon$ muy pequeño con respecto a este indicador, que uno puede perturbar a una solución a la orden superior ecuaciones, pero de nuevo sin al menos un poco más duro de los datos en el formulario de la $k$-ésimo término de esto parece complicado.

EDIT: En respuesta a Robert comentarios, sí, me refería $\mbox{Vol}(M) g$ (fija por encima). También, permítanme dar una referencia:

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321389904227

Este papel calcula los términos de $\beta_3$ e $\beta_4$ (La fórmula para $\beta_4$ cubre la mitad de una página de términos, y cada uno de estos se caracteriza por una curvatura complicada expresión ya. Escrito totalmente tomaría 2 páginas por lo menos!). Tan lejos como si uno puede esperar la $\beta$ funciones para ser más simple en un Kähler colector, yo no puedo hablar a la física lo suficientemente bien como para decir realmente. Desde un punto de vista matemático, no veo ninguna ventaja, más allá del hecho de que por supuesto cada término puede ser expresada en términos de un Kähler potencial.

El caso de los simétrica espacios es probablemente más manejable. Buscando soluciones dentro de la clase $\nabla \mbox{Rm} \equiv 0$ sin duda podría simplificar los términos de $\beta_k$ mucho. Mi entendimiento de cómo estos términos se derivan es muy difusa, pero vamos a hablar de todos modos: creo que los diferentes sumandos en $\beta_k$ corresponden en cierto sentido a los diferentes tamaños de "diagramas de lazos" (véase la referencia para algunos ejemplos), y por otra parte el comportamiento cualitativo de dichos términos (es decir, el número de los derivados de la $\mbox{Rm}$, lo que aparece es (de alguna manera) relativa a la topología del diagrama. Una de las principales dificultades en la realización de estos cálculos se derivan los términos de $\beta_k$ es el gran número de diagramas que se debe considerar, que crece salvajemente con $k$. Si, por otro lado, uno podría a priori descartar un gran número de tales diagramas (asumiendo $\nabla \mbox{Rm} \equiv 0$), tal vez estos cálculos se vuelven más fáciles, o al menos algunos de los más fuertes cualitativa declaraciones podrían ser realizados.

Por último, la cantidad de $\epsilon$ (lo cual, también se nota generalmente es $\alpha'$ en física de la literatura) es, creo, pretende ser pequeño pero fijo. Físicamente, al parecer, está destinado a representar la "tensión de la cadena."