Cada colector se convirtió en una Mentira grupo?

Question

Estoy estudiando la teoría de la Mentira y el solo pensamiento de esta pregunta aleatoria de curiosidad. Puede cualquier colector de ser convertido en una Mentira grupo?

Más precisamente, dado un colector $G$, podemos siempre se construye (o demostrar la existencia de) algo de suave mapa de $m:G\times G\to G$ que hace $G$ en una Mentira grupo? Si no, hay un fácil contraejemplo?

Podía imaginar una construcción que va algo como esto: elige un punto arbitrario $e\in M$ a la identidad, y definir $m(e,g)=m(g,e)=g$ para todos los $g\in G$. Entonces ya tenemos los elementos de la Mentira álgebra dado como el espacio de la tangente a la identidad de $T_eG$, y tal vez podamos utilizar estos para extender $m$ a todos los de $G$?

Answer 1

Hay un fácil contraejemplo: $S^2$ no se puede dar una Mentira estructura del grupo (esto es una consecuencia de la bola peluda teorema). El problema con su construcción es que no ofrecen cómo definir $m(g,h)$ para cualquiera de los dos nonidentity elementos $g$ e $h$.

Answer 2

Mentira grupos como colectores, son muy especiales, debido a las operaciones del grupo. Básicamente, "lo que sucede en la identidad" determina lo que ocurre en todas partes. Y esto significa que la recta tangente bundle $T G$ es siempre trivializable: aquí es un boceto de la prueba, basado en lo que yo recuerdo de Lee el libro.

Tomar cualquier base $\{v_i\}^n_{i=1}$ para $T_eG$. Desde la izquierda multiplicación $L_g:G\to G:h\mapsto gh$ es un diffeomorphism, se induce un isomorfismo $dL_g:T_eG\to T_gG.$ Ahora, definir campos vectoriales $\{V_i\}^n_{i=1}$ por $(V_i)_g:=dL_g(v_i)$y demostrar que son lisas. Entonces, desde el $dL_g$ es un isomorfismo, $\{dL_g(v_i)\}^n_{i=1}$ es una base para $T_gG$, por lo que los campos vectoriales $\{V_i\}^n_{i=1}$ son un marco global para $TG$.

Answer 3

Para añadir a las respuestas anteriores, topológicos, grupos han abelian fundamentales de los grupos.

$G$ es Topológico $\implies$ $\pi_1(G,e)$ es Abelian

Orientable superficies de género, al menos, dos no son parallelizable, pero esta es otra manera de demostrar que no pueden ser Mentira (incluso topológico) de los grupos. La botella de Klein es parallelizable (edit: no, no es), pero su grupo fundamental no es abelian, por lo que no puede ser un grupo cualquiera.

Answer 4

Las respuestas hasta ahora son grandes, pero quería añadir algo más de obstrucciones. Supongamos $M$ es un colector que puede ser, dada la estructura de una Mentira grupo. A continuación, $M$ tiene las siguientes propiedades...

1. $\pi_1(M)$ actos trivialmente en $\pi_n(M)$
2. Cada una de las $\pi_n(M)$ es finitely generado.
3. $\pi_2(M) = 0$.
4. $\pi_{2k}(M)$ es de un número finito de abelian grupo para todos los $k\geq 1$.
5. $\pi_3(M)$ no contiene torsión.
6. Si $M$ es compacto, entonces al menos uno de $\pi_1(M)$ e $\pi_3(M)$ contiene $\mathbb{Z}$ como subroup.
7. Si $M$ no es compacto, entonces $M$ debe ser diffeomorphic a $\mathbb{R}^k\times N$ para algunos compacto de Lie del grupo de $N$.
8. Si $M$ es simplemente conexa, entonces sólo puede torsión de la orden de $2$, $3$o $5$ en su cohomology grupos.

Todavía hay muchos colectores de que pasen todos estos obstáculos (así como todas las obstrucciones en las otras respuestas!) - por ejemplo, $M = S^3\times S^5$. Sin embargo, esta $M$ no es una Mentira grupo (a pesar de que la única manera que conozco para mostrar esto es el uso de la clasificación. Es simplemente conectado y dimensión de $8$, por lo que la única Mentira de grupo $M$ podría ser diffeomorphic a es $SU(3)$. Sin embargo, $\pi_4(M) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ mientras $\pi_4(SU(3)) = 0$.)

Answer 5

Como muchas personas están dando interesantes contraejemplos pensé también debo agregar uno . Cualquier superficie( compacta orientable hausdorff 2 colector) con cero Euler características puede ser una Mentira grupo, porque a partir de estándar teorema de la topología diferencial de Euler característica de compacta orientable mentira grupo es cero. Por ejemplo, es 2 por 2 esfera de modo que no puede ser una Mentira grupo.