Si todos los reales son de carácter genérico, es el conjunto de reales genérico?

Question

Deje $W\subseteq V$ dos modelos de $\sf ZFC$ con el mismo ordinales. Es la siguiente situación coherente:

1. Para cada $x\in\Bbb R^V$ hay algo de $P_x\in W$ tal que para algunos $G\subseteq P_x$ es $W$-genérico, $x\in W[G]$.

2. No es $P\in W$ e $G\subseteq P$ es $W$-genérico tal que $\Bbb R^{W[G]}=\Bbb R^V$.

Es decir, cada real es [set]genérico más de $W$, pero el conjunto de los reales es no.

Este tipo de situación, por supuesto, inmediatamente excluir el caso de que $V$ es una extensión genérica de $W$; pero también cosas como al $V=L[r]$ es obtenido mediante la codificación de $W$ a un real $r$.

(Podemos suponer que la $\sf CH$ mantiene en $V$, de lo contrario se puede forzar a que sin la adición de números reales.)

Answer 1

Conocí a Woodin recientemente y le pidió que. Él vino para arriba con una solución, modulo algunas técnicas suposición de que Ashutosh mostró ser coherente (aunque admito que no es la misma sugerencia que Woodin tenía para la solución de este problema). Con su permiso, me estoy publicando esta solución aquí.

1. $W$ es un modelo de $\sf ZFC+GCH+$"Hay $\aleph_1$ ccc forzamientos que añadir independiente reales" (llamar a estos forzamientos $\Bbb P_\alpha$).

2. $V_1$ es una clase genérica de extensión de $W$ en el que una clase adecuada de los cardenales se derrumbó, mientras que la preservación $\sf ZFC$ (por ejemplo, el colapso de todos los $\aleph_{\alpha\cdot\omega+3}$ a $\aleph_{\alpha\cdot\omega+2}$).

3. $V_2$ es la codificación $V_1$ a un subconjunto de $\omega_1$ sin añadir reales sobre $W$, lo $V_2=W[A]$ donde $A\subseteq\omega_1$.

4. Finalmente, $V$ es el finito de soporte de producto de $\Bbb P_\alpha$ para $\alpha\in A$ sobre $V_2$.

Ya que de $W$ a $V_2$ no añadimos ningún reales, y cada añadido real a $V$ provenía de una contables de parte del producto (que es en $W$), se deduce que a cada número real es de $W$-genérico para algunos adecuado de la parte del producto. Pero si había una $W$-genérico $G$ (para un conjunto obligando a) tal que $W[G]$ e $V$ tenían el mismo de reales, usted sería capaz de extraer $A$ y por lo tanto calcular la clase genérica para el ya colapsado cardenales.