Qué mal puede fuerte multiplicidad de una falla en la teoría de la automorphic representaciones?

Question

Deje $G$ ser conectado a un reductor grupo de más de un campo global $k$, y deje $\pi=\otimes_w\pi_w$ e $\pi'=\otimes_w\pi'_w$ dos automorphic representaciones para $G$, donde aquí, por supuesto, $w$ es que van por encima de todos los lugares de $k$.

Supongamos ahora que $\pi_w\cong\pi'_w$ para todos, pero un número finito de lugares $w$ de % de$k$. Yo creo que la gente diga "$\pi$ e $\pi'$ son casi equivalentes".

Si ($G=GL(n)$ e $\pi$ es cuspidal), o si ($G=GL(n)$ e $\pi$ e $\pi'$ se producen de forma discreta en $L^2$), entonces esto obligaría a $\pi_v\cong\pi'_v$ para todos los lugares de $v$. Pero, en general, esta "fuerte multiplicidad uno" fenómeno no se produce. De hecho, incluso si $G=GL(2)$ podemos tener $\pi_v\not\cong\pi'_v$ para un no-cero conjunto finito de $v$: si $\pi$ es 1-dimensional, a continuación, $\pi'$ puede ser Steinberg en $v$, por ejemplo. Para otros grupos además de los $GL(2)$ podemos incluso tener $\pi$ e $\pi'$ cuspidal, con $\pi_v\not\cong\pi'_v$ -- esto sucede incluso si $G=SL(2)$: "fuerte multiplicidad uno" puede fallar aquí.

Así que aquí está una pregunta vaga. Hemos establecido que la $\pi$ e $\pi'$ casi equivalente no implica $\pi_v\cong\pi'_v$ para todos los $v$. Pero, ¿podemos decir nada acerca de la relación entre el $\pi_v$ e $\pi'_v$?

Pero yo no soy un fan de las preguntas vagas así que aquí están algunos de los más precisos, junto con algunas suposiciones para las respuestas. Decir $\pi_w\cong\pi'_w$ en casi todas las $w$, pero $\pi_v\not\cong\pi'_v$.

0) Do $\pi_v$ e $\pi'_v$ necesariamente tienen el mismo personaje central? [esto debería ser fácil de calentar. Es sólo la cuestión de si tori satisfacer algún tipo de fuerte mult 1. Me siento un poco cojo no ser capaz de entender esto :-/]

1) Se $\pi_v$ e $\pi'_v$ necesariamente en el mismo Bernstein componente? [mi conjetura es "no"; yo medio sospechoso que para $G=GSp(4)$ uno puede tener $\pi_v$ supercuspidal y $\pi'_v$ no, pero mi fuente es "creo que alguien una vez me dijo esto" y sería bueno tener más concreto uno].

2) Si $v$ es infinito, do $\pi_v$ e $\pi'_v$ tienen el mismo carácter infinitesimal? [Mi conjetura es que "este es conocido por $GL(n)$, y podría seguir a partir de un super-versión optimista de Langlands functoriality general $G$ pero tal vez estoy siendo un poco demasiado optimista."]

3) Si $v$ es infinito, se $\pi_v$ e $\pi'_v$ en el mismo local $L$-paquete definido por Langlands? [Tengo muy poca comprensión de las $L$-paquetes en el infinito y daren no aventurar una respuesta.]

4) en la general $v$. Se debe esperar que el $\pi_v$ e $\pi'_v$ están en el mismo "paquete" de alguna manera? Escribo esto entre comillas porque no sé que puedo dar una definición de $L$-paquete o $A$paquetes en esta generalidad. Así que aquí me daren siquiera tener una opinión.

Me interesaría saber en cualquier cosa que se demuestra o conjetura.

Answer 1

Confirmo lo que "alguien dijo una vez que" acerca de la pregunta 1 (por lo que ahora "dos personas una vez dije" o tal vez "alguien dos veces dije"). Este fenómeno ($\pi_\nu$ supercuspidal, y $\pi'_\nu$ principal de la serie, incluso unramified) se produce por ejemplo cuando se $\pi$ e $\pi'$ a partir de la no-templado endoscópica representación en el discreto (o incluso cuspidal) espectro que algunas personas, como para deformar, para $U(3)$ e $GSP(4)$ y sus formas internas. Hay un artículo por Rogawski, "La multiplicidad de la fórmula para Una de paquetes" en el libro "la Función Zeta de Picard Modular de las Superficies", donde se describe en detalle un ejemplo para cada una de las dos formas internas de $U(3)$ conectado a una ecuación cuadrática imaginario campo de $E$. Usted tiene analógico ejemplos para $GSP_4$ donde $\pi$ es un Saito-Kurokawa eleva de forma modular.

Answer 2

En cuanto a las relaciones entre el 0), 2), 3) y 4) (pero no es realmente una respuesta a cualquiera de ellos sin necesidad de información adicional) :

a) Se trata de predecir (ver Borel del Corvallis artículo página 44) que si dos representaciones pertenecen a la misma locales "$L$-paquete", entonces tienen el mismo carácter central.

b) Vamos a $G(\mathbb{R})$ ser un verdadero grupo que tiene relación discreta serie de representaciones. Fijar un personaje central de la $\chi$ y un carácter infinitesimal $\lambda$. Entonces el conjunto de relativa discretos serie de representaciones de $G(\mathbb{R})$ con el personaje central de la $\chi$ y infinitesimal de caracteres $\lambda$ es $L$-paquete de $G(\mathbb{R})$, y cada relación discreta serie de $L$-paquete de $G(\mathbb{R})$ es de esta forma.

c) formación de hielo en cualquier pastel existe : explícita De las construcciones de los personajes centrales asociados a Langlands parámetros : Dado un discreto Langlands parámetro de un grupo real $G(\mathbb{R})$, Langlands ha construido el personaje central de la asociada $L$-paquete. Si $G(F)$ es $p$-ádico tal que la máxima de toro en su centro es anisotrópico, Bruto/Reeder (Sección 8 de sus últimos papel, que también contiene Langlands " por encima de la construcción de verdaderos grupos) han construido un personaje central conectado a un discreto Langlands parámetro de $G(F)$. fwiw : Borel (en Corvallis) se dio a la construcción de un personaje central conectado a un Langlands parámetro de un arbitrario conectado reductora grupo a través de una real o $p$-ádico de campo $k$, pero se observa en el primer párrafo de la Sección 8 Bruto/Reeder que Borel de la construcción de la "omite un punto esencial, a saber, la desaparición de la Schur multiplicador de $Gal(\overline{k} / k)$, debido a la Tate".

Answer 3

Ellos están en el mismo Arthur paquete. La a-paquetes están diseñados exactamente para responder a esta pregunta. Creo que las respuestas a las preguntas 1,2,3 son "no", "sí conjecturally", y "no": véase el libro de Adams Barbasch Vogan o Vogan encuesta del artículo en el local de Langlands conjeturas. Tenga en cuenta que, aunque el paquete no es una unión de L-paquetes en general, de lo que se contiene una canónica de L-paquete.

[Oops: respuesta editado. Esto sólo se aplica a "automorphic", en el sentido de "que aparece discretamente en el L^2-espectro". Malentendido el enfoque de la pregunta. La referencia explícita de 1, por ejemplo, es 1.11 de Gan-Gurevich "No-templado A-paquetes de G_2: elevaciones de SL_2-tilde."]

Answer 4

Para lo que vale ahora puedo responder a Q0. Creo que no es cierto en general que $\pi_v$ e $\pi'_v$ se tiene que tener el mismo personaje central. Podemos dejar que la $G$ ser un 'toro'$T$. Si $S$ es un conjunto finito de lugares de $k$, entonces podemos establecer $\pi_w=\pi'_w=1$ para $w\not\in S$. De hecho, vamos a establecer $\pi'=1$. Podemos encontrar $\pi$ con $\pi\not=1$? Esto sólo se reduce a la pregunta de si $T(k)$ es denso en $\prod_{v\in S}T(k_v)$. Este es el "bien connu" no es cierto en general, de acuerdo con el primer párrafo de este artículo de Colliot-Thelene y Suresh disponible aquí:

Skorobogatov me dice que Milne Aritmética Teoremas de Dualidad es el lugar para buscar esta conocida cosas. Gracias a Ambrus Pal para señalar la C-T--S de papel.

Pero aún mejor, el papel vinculado anteriormente incluso respuestas, en la función de campo de caso, la más fuerte la pregunta de si la inducida por el mapa de $T(k)\to\prod_{v\in S}T(k_v)/M$ es surjective, donde $M$ es la máxima compacto subgrupo -- incluso esto puede fallar. Esto significa, creo, que incluso tori dar ejemplos donde $\pi_v$ e $\pi'_v$ no están en el mismo Bernstein componente, así que tenemos otro contraejemplo a (1). Nota sin embargo de que sólo se aplica en el campo de función de configuración (aquí es donde la C-T--S contraejemplo se lleva a cabo).