La clase de abrir surjections $Q \to X$ es un Grothendieck pretopology en la categoría de $Top$ de los espacios, e incluye la clase de mapas de $\amalg U_\alpha \to X$ donde $\{U_\alpha\}$ es una cubierta abierta de $X$. Hay una gran cantidad de espacios para que estos dos pretopologies no son equivalentes (no-localmente contráctiles espacio, por ejemplo). Lo que me gustaría saber es si hay espacios para los que son. Mi pregunta se puede dividir en dos partes:
Hay un total subcategoría de $Top$ de manera tal que cada abierto surjection admite las secciones locales?
Hay un no-subcategoría plena, como la de finito CW complejos celulares y de los mapas (no estoy afirmando que esto es), en la que cada abierto surjection - en esta categoría - admite las secciones locales?
Claramente el no completo subcategoría parte debe incluir suficiente cantidad de mapas que ser razonable, por ejemplo, cada mapa continuo es homotópica a una en la subcategoría y objetos suficientes para ser considerado también trivial.
Edit: me estoy topando esta pregunta porque ha recibido poco interés, y he pensado que me gustaría explicar el ejemplo que me trajo a esta idea.
Considere la posibilidad de la ruta fibration $P_xX \to X$, el total de espacio que es el espacio de la base de rutas con el compacto-abierta de la topología. Si $X$ es localmente contráctiles, entonces este es de fibra de homotopy trivial, y, en particular, admite las secciones locales. Como $P_xX$ es contráctiles, puede ser visto como una especie de 'resolución' del espacio de $X$, - especie de 'cubrir'. (Si trabajamos en el buen ajuste, y deje $X=G$ una Mentira grupo, a continuación, $P_eG \to G$ es incluso un localmente trivial $\Omega G$-paquete.) Sin embargo, yendo al otro extremo, y sólo se pide para $X$ a ser ruta de acceso conectado y localmente ruta de acceso conectado, a continuación, $P_xX \to X$ es una surjection. Hay un montón de otros mapas que están abiertos surjections que admitir que las secciones locales (tales como director haces)
Estoy feliz por abrir surjections se cubre (es decir, forma un Grothendieck pretopology) pero quiero ser capaz de especificar cuando abra surjections y abra las cubiertas generan la misma topología de Grothendieck, y esto implica la búsqueda de una categoría de espacios (que me gustaría ser suficiente para un modelo de todo homotopy tipos y asignación de espacios correctamente) donde abrir surjections admitir las secciones locales.
