El significado y la finalidad de "canónico

Question

Esta pregunta se formula conjuntamente con Neil Barton . Queremos conocer el significado de la canonicidad en las matemáticas en sentido amplio. Es decir, tanto lo que significa con cierto detalle, como por qué es importante.

En varios campos matemáticos, el término "canónico" aparece con con respecto a objetos, mapas, estructuras y presentaciones. No está no está claro si este término tiene un significado unívoco en las matemática, o si la gente se refiere a cosas diferentes en diferentes contextos diferentes con el término. Algunos ejemplos:

1. En la teoría de categorías, si tenemos una propiedad universal, el mapa único es canónico. Parece que aquí se trata de que el mapa está determinado unívocamente por algún dato dentro de la categoría. Además, este tipo de esquema puede utilizarse para elegir objetos con ciertas propiedades que son canónicos en el sentido de que son únicos hasta el isomorfismo.

2. En la teoría de conjuntos, L es un modelo canónico. Aquí, es único y definible. Además, su construcción sólo depende de los ordinales: dos modelos cualesquiera de ZF con los mismos ordinales construyen la misma versión de L.

3. En la teoría de conjuntos, otros modelos se denominan "canónicos", pero no está no está claro cómo puede ser así, dado que no son únicos en ciertos formas. Por ejemplo, no existe un análogo del hecho anterior para L con respecto a los modelos de ZFC con un número ilimitado de cardinales medibles. No importa cómo extendamos la teoría ZFC + "Hay una clase propia de medibles", no habrá un modelo único de esta teoría hasta la especificación de los ordinales más un parámetro del tamaño del conjunto. Véase aquí .

4. Las presentaciones de los objetos pueden ser canónicas: la más sencilla es la de las fracciones, cuya presentación es canónica sólo en el caso de que el numerador y el denominador no tienen factores comunes (por ejemplo, la presentación canónica de 4/8 es 1/2). Pero esto se aplica también a otros ámbitos; véase aquí .

5. A veces la canonicidad parece ser relativa. Dado un espacio vectorial de dimensión finita, existe una forma canónica de definir un isomorfismo entre V y su dual V* a partir de la elección de una base para V. Esto determina una base para V*, y así la elección inicial de la base para V produce un isomorfismo canónico de V a V**. Pero dos pasos pueden ser más canónicos que uno: El isomorfismo resultante entre V y V** no varía con la elección de la base, y de hecho puede definirse sin referencia a ninguna base. Véase aquí .

Otros ejemplos se pueden encontrar aquí .

Nuestras preguntas blandas:

(a) ¿Aparece el término "canónico" en su campo? En caso afirmativo, ¿cuál es el sentido del término? ¿Es relativo o absoluto?

(b) ¿Qué papel desempeña la canonicidad en su campo? Por ejemplo, ¿ayuda a resolver problemas, ayuda a establecer objetivos de investigación o simplemente hace que los resultados sean más interesantes?

Answer 1

El término "base canónica" se utiliza en la teoría de la representación. Uno de los ejemplos fundamentales es la base Kazhdan-Lusztig del álgebra de Hecke de un grupo Coxeter. ¿Por qué se utiliza el término "canónico"? Bueno, hablando vagamente, el proceso de pensamiento comienza tratando de categorizar el álgebra de Hecke. No hay una receta mecánica para la categorización, y hay varias categorías que pueden considerarse como categorización del álgebra de Hecke, como (en el caso cristalográfico) la categoría Bernstein-Gelfand-Gelfand de representaciones del álgebra de Lie simple compleja asociada, o una cierta categoría de gavillas perversas sobre la variedad bandera correspondiente. Pero una vez que se tiene una categoría, se puede obtener una base distinguida considerando las clases de objetos simples del grupo de Grothendieck. Éstas dan lugar a la base KL de forma natural.

En cuanto a su pregunta de si este uso de "canónico" es absoluto o relativo, yo diría que es relativo. Por otra parte, la base KL desprende un extraño olor a ser la base "correcta" en algún sentido. Consideremos, por ejemplo, la positividad de los coeficientes de los polinomios KL. La búsqueda de una explicación de esta positividad ha llevado a descubrir todo tipo de estructuras algebraicas y (a veces) geométricas inesperadas. Para más información, véase por ejemplo La teoría de Hodge de los bimódulos de Soergel y El $p$ -base canónica para las álgebras de Hecke .

Answer 2

En mi experiencia, "canónico" significa "la forma más sencilla posible" dentro de algún contexto. A menudo resulta que esta forma está determinada de forma única, al menos cuando se ponen algunas restricciones "naturales".

Por ejemplo, cuando queremos incrustar un dominio $R$ en su campo de fracciones $Q(R)$ La forma más sencilla de hacerlo es asignar $r$ a $\frac{r}{1}$ . Todas las demás fórmulas o no funcionan, o no definen un homomorfismo de anillo, o no son inyectivas. Y esta es en realidad la única incrustación que se puede definir para cada dominio $R$ y es una transformación natural.

Otro ejemplo es el mapa de proyección $X \times Y \to X$ , $(x,y) \mapsto x$ . De nuevo, esta es la forma más sencilla de producir un elemento de $X$ de un elemento de $X \times Y$ . Y esta es realmente la única opción que es natural en $X$ y $Y$ .

La base canónica de $K^n$ es otro ejemplo. Aquí la simplicidad se mide por el número de ceros en cada vector base, y los ceros deben considerarse simples, por supuesto.

Para ilustrar que la unicidad no es necesaria en general, por ejemplo se dice que para los conjuntos $X$ hay dos mapas canónicos $X \to X \sqcup X$ . Asimismo, existen dos mapas canónicos $X \times X \to X$ .

En algunos casos no existe una solución canónica. Por ejemplo, yo diría que no hay una biyección canónica $\mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$ y, de hecho, no veo una medida clara para la simplicidad en este caso. La función de emparejamiento de Cantor es una biyección polinómica que, por tanto, puede considerarse bastante sencilla, pero ésta es sólo una opción entre muchas otras. Y se podría argumentar que $(n,m) \mapsto 2^n \cdot (2m+1)-1$ aunque no es polinómica, es en realidad mucho más sencilla ya que aquí la biyectividad es trivial.

Uno de los propósitos de los mapas canónicos, las estructuras, etc., es centrarse en lo que es relevante y útil.

Answer 3

Para Bourbaki, el adjetivo "canónico" es simplemente una forma de asignar un nombre a un objeto bien definido. Por ejemplo, cuando el mapa cociente $E\rightarrow E/R$ se define ( $E$ es un conjunto, $R$ una relación de equivalencia), Bourbaki dice que "se llama el mapa canónico de $E$ a $E/R$ "; entonces cada vez que se produzca un mapa cociente, Bourbaki dirá "consideremos el mapa canónico $E\rightarrow E/R$ ... ", y debe quedar claro para el lector de qué se trata.

Answer 4

Esto parece más amplio que el otra pregunta que se interpretó principalmente en el sentido de la "teoría de las categorías" (1.).

Un temprano, tal vez el más temprano, a caso del sentido (4.) "forma normal" es Jacobi (1837) llamando canónico la "forma Hamilton" b de las ecuaciones de la mecánica, así como las variables, coordenadas o "elementos" en los que adoptan esta forma; hoy hablaríamos de coordenadas de Darboux o forma normal de Darboux c de una estructura simpléctica. Observaciones:

1. Una gran diferencia con el caso de las fracciones es que las coordenadas normales (o el isomorfismo a la forma normal) están lejos de ser únicas.

2. Sylvester en otro contexto ( 1851 , p. 190) atribuye la frase a Hermite, presumiblemente ( 1854 ):

   Procedo ahora a la consideración de la rama más peculiar de mi investigación, que es la del modo de reducir las funciones algebraicas a sus formas más simples y simétricas, o como mi admirable amigo M. Hermite propone llamarlas, sus formas canónicas.

3. Similares: el Jordán forma canónica d y Frobenius forma canónica racional e de una matriz.

4. Por lo que sé, es posible que Jacobi también haya originado la frase "forma normal" ( 1845 , 1850 ).

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a uno puede encontrar "ad formam canonicam" al menos una vez en Euler: De reductione formularum integralium ad rectificationem ellipsis ac hyperbolae ( 1766 , p. 28); también a menudo aequatio canonica .
b notoriamente utilizado antes por Lagrange y Poisson.
c llamada canónica por Frobenius ( 1877 ), canónico o normal por Darboux ( 1882 ).
d llamado canónico por Jordan ( 1870 , p. 114); Kronecker ( 1874 ) lamentó amargamente la terminología.
e llamada normal por Frobenius ( 1879 , pp. 207-208).

Answer 5

Todo grupo (en realidad creo que lo mismo ocurre con los anillos y los módulos) admite la siguiente (tonta) presentación canónica. Si $G$ es un grupo, considere el grupo libre $F(G)$ en el conjunto (subyacente) $G$ . Entonces $$G = F(G)/R,$$ donde $R$ es el subgrupo normalmente generado por palabras de la forma $ghk^{-1}$ , donde $g$ , $h$ y $k$ están en $G$ Satisfaciendo a $gh=k$ .