Construcción geométrica de profundidad cero local Langlands correspondencia

Question

Querida comunidad,

A la luz de la reciente obra de DeBacker/Reeder en la profundidad cero local Langlands correspondencia, me preguntaba si hay un intento de "geometrize" la profundidad cero local Langlands correspondencia.

En particular, en Teruyoshi Yoshida de la tesis, se puede ver un atisbo de esto por $GL(n,F)$ donde $F$ es $p$-ádico de campo. Es decir : Supongamos $k$ es el residuo de campo de $F$. Deje $w$ ser la permutación cíclica $(1 \ 2 \ 3 \ ... \ n)$ en el grupo de Weyl $S_n$ de % de$GL(n,F)$. Deje $\widetilde{Y_w}$ ser el Deligne-Lusztig variedad asociados a $w$, y denotan por $H^*(\widetilde{Y_w})$ la alternancia suma de los cohomologies $H_c^i(\widetilde{Y_w}, \overline{\mathbb{Q}_{\ell}})$. Deje $T_w(k) = k_n^*$ ser la elíptica toro en $GL(n,k)$ donde $k_n$ es el grado $n$ extensión de $k$.

Desde $T_w(k)$ e $GL(n,k)$ actuar en cohomology, $H^*(\widetilde{Y_w})$ es un elemento del grupo de Grothendieck de $GL(n,k) \times T_w(k)$-módulos. Hay un canónica surjection $I_F \rightarrow k_n^* = T_w(k)$ donde $I_F$ es la inercia de los subgrupos de la Weil grupo de $F$. Por lo tanto, se puede tirar hacia atrás el $GL(n,k) \times T_w(k)$ acción en $H^*(\widetilde{Y_w})$ a una acción de $GL(n,k) \times I_F$.

Por Deligne-Lusztig Teoría, como $GL(n,k) \times T_w(k)$-representaciones,

$$H_c^{n-1}(\widetilde{Y_w}, \overline{\mathbb{Q}_{\ell}})^{cusp} = $$

$$\displaystyle\sum_{\theta \in C} \pi_{\theta} \otimes \theta$$

donde $C$ denota el conjunto de todos los caracteres de $k_n^*$ que no factor a través de la norma mapa de $k_n^* \rightarrow k_m^*$ para cualquier entero $m$ tal que $m \neq n$ e $m$ divide $n$, y donde la cúspide denota "cuspidal parte". Aquí, $\pi_{\theta}$ es irreducible cuspidal de la representación de $GL(n,k)$ asociado al toro $T_w(k)$ y el carácter $\theta$ de %de$T_w(k)$.

Uno de Yoshida principales teoremas es que en esta descomposición $$\displaystyle\sum_{\theta \in C} \pi_{\theta} \otimes \theta,$$ the correspondence $\theta \leftrightarrow \pi_{\theta}$ is indeed the depth zero local Langlands correspondence for $GL(n,k)$, "a presión" (este giro es de poca importancia para mi pregunta), mediante la comparación con los de Harris-Taylor.

Así que mi pregunta es : alguien Ha tratado de generalizar esto para más general de los grupos, pero se sigue trabajando sólo en la profundidad de cero local Langlands? Uno podría tratar de hacer esto, y luego compararla con la obra reciente de DeBacker/Reeder (ellos escriben bastante general en profundidad cero local Langlands correspondencia). En otras palabras, ¿alguien ha probado a darse cuenta de la profundidad de cero local Langlands en el cohomology de Deligne-Lusztig variedades parte exterior de la carcasa $GL(n,F)$, lo que Él hizo?

A priori la idea de $GL(n)$ no trabaja en la nariz para otros reductora grupos desde el tori que surgen en otras reductora grupos varían considerablemente, pero algo similar podría. Sería de desear para tratar de sacar de nuevo la acción de la $T_w(k)$ en cohomology a la inercia de grupo $I_F$ en una más general, donde ahora $T_w(k)$ es más general toro en una más general reductora grupo. Entonces, uno podría comparar a DeBacker/Reeder.

Eché un vistazo en el caso de unramified $U(3)$, y parece que las cosas van bastante bien.

Mi otra pregunta es : Es posible que lo que yo estoy proponiendo es fácil comprobar si uno entiende DeBacker/Reeder y Deligne-Lusztig lo suficiente como para escribir esto en general. Si es así, entonces es mi pregunta original incluso interesante? Básicamente se trataría de decir que Deligne-Lusztig teoría es muy naturalmente compatible con local Langlands la correspondencia, pero el trabajo duro es realmente en DeBacker/Reeder y Deligne-Lusztig, y poner todo junto no podría ser difícil. Es la pregunta original, interesante, independientemente de si es o no es difícil de responder?

Sinceramente,

Moshe Adrian

Answer 1

Yoshida considera la Lubin-Tate de la torre en su realización geométrica de la profundidad cero supercuspidals para $GL(n)$. Para unitario grupos, estoy seguro de que la respuesta a su pregunta se encuentra en un análisis similar para el correspondiente Rapoport-Zink espacios. Yo no creo que esto ha sido hecho todavía, pero debe hacerse pronto, estoy interesado, como es (al menos) Tasho Kaletha en la universidad de Princeton. Mientras tanto, tengo una reinterpretación de Yoshida la tesis de que utiliza el $p$-ádico período de asignaciones de la Lubin-Tate torre de una forma esencial. He publicado algunas notas de ayer (!) aquí. El poco acerca DL variedades aparece en el final. Me recurrir a la utilización de coordenadas y derivados (como Yoshida hace) una ecuación explícita para el DL variedad, pero con un poco más de trabajo apuesto un enfoque más abstracto que puede ser encontrado. Desde la teoría de la $p$-ádico período de mapas para obtener más general RZ espacios ha sido trabajado, yo apuesto a que este enfoque puede ser utilizado para unitario grupos.

Answer 2

Teruyoshi Yoshida respondió a mi pregunta por e-mail y él está bien con mi publicar su respuesta en mathoverflow :

"Queridos Moshe,

gracias por su interés - sí, sería muy interesante hacer este con más general Rapoport-Zink espacios, pero yo) no he tenido éxito en la búsqueda de una característica intrínseca de los módulos de interpretación de mi modelo de domar Lubin-Tate el espacio, de ahí la dificultad de generalizar a otros grupos ii) el llamado Drinfeld nivel de estructuras no parecen dar buen integral de los modelos para la Rapoport-Zink espacios con niveles más profundos. A pesar de estos obstáculos en aritmética-geometría, sería interesante investigar la cohomology para otros RZ espacios (hay obras de Ito-Mieda, Shin, Strauch, etc). Siéntase libre de citar a mi correo electrónico en mathoverflow.

mejor, Teruyoshi"

Answer 3

Jared y de la comunidad,

Gracias por sus respuestas! Estoy de acuerdo, creo que uno debe ser capaz de hacer las cosas sin una explícita de las ecuaciones para el DL variedades.

Yo también estaba pensando lo largo de una línea diferente a la de su línea de ataque. Aquí es un ejemplo concreto de cómo las cosas podrían ir (y no estoy seguro de si todo lo que sigue es completamente correcta) : Considerar la unramified p-ádico grupo $U(3,F)$ sobre el p-ádico de campo $F$. Deje $k$ el residuo campo de $F$. Hay dos tipos de profundidad cero supercuspidal Langlands parámetros de $$\phi_i : W_F \rightarrow GL(3,\mathbb{C}) \rtimes \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$$ para $U(3,F)$ donde $W_F$ es la de Weil grupo. En ambos casos, la imagen de $I_F$ tierras en $\hat{T}$, el doble de la máxima toro, donde $I_F$ es la inercia del grupo. Por otra parte, si $\Phi_F$ denota Frobenius, $\phi_1(\Phi_F) = {}^{(13)} w$ e $\phi_2(\Phi_F) = {}^{(12)} w$ donde ${}^{(13)} w$ denota el grupo de Weyl elemento de $GL(3,\mathbb{C})$ que los interruptores de la primera y tercera entradas de la máxima toro, y ${}^{(12)} w$ es el grupo de Weyl elemento que cambia la primera y segunda entradas de la máxima toro.

Considere la posibilidad de un Langlands parámetro de tipo $\phi_1$ (lo que sigue también trabajará en forma análoga, para los parámetros de tipo $\phi_2$). Para facilitar la notación, establezca $w := {}^{(13)} w$. Deje $\widetilde{Y_w}$ denotar el DL variedad asociados a $w$. Asociados a $w$ es también un trenzado de torus $T_w$. El desenrollado de las definiciones, se obtiene que el $T_w(k) = k_2^1 \times k_2^1 \times k_2^1$ donde $k_2$ denota el grado 2 de la extensión de $k$, e $k_2^1$ denota el grupo de norma $1$ elementos de $k_2$ a $k$. Este toro se divide sobre $k_2$, y el $k_2$-puntos por $T_w(k_2) = k_2^* \times k_2^* \times k_2^*$.

El trenzado torus $T_w(k)$ e $U(3,k)$ ambos actúan en $H_c^*(\widetilde{Y_w})$. Como $U(3,k) \times T_w(k)$-representaciones, tenemos que $H_c^*(\widetilde{Y_w})$ contiene

$$\displaystyle\sum_{\theta \in C} \pi_{\theta} \otimes \theta$$

donde $C$ denota el conjunto de todos los caracteres de $T_w(k)$ en posición general, y donde $\pi_{\theta}$ es la representación de $U(3,k)$ asociado al toro $T_w(k)$ y el carácter $\theta$ de % de$T_w(k)$. La pregunta es obtener un $U(3,k) \times I_F$-acción en $H_c^*(\widetilde{Y_w})$, de modo que se puede obtener un local de Langlands correspondencia (y en el caso de $U(3,F)$, resulta que ni siquiera tenemos la plena Weil group). Tenga en cuenta que tenemos la norma mapa en tori : $$N : T_w(k_2) \rightarrow T_w(k)$$ Finalmente, como en el ejemplo de $GL(n,F)$ anterior (Yoshida considera), se puede considerar el canónica surjection $$\alpha : I_F \rightarrow k_2^*$$ We may now consider the maps $$\alpha_1 : I_F \rightarrow T_w(k_2) = k_2^* \times k_2^* \times k_2^*$$ $$x \mapsto (\alpha(x), 1, 1)$$

$$\alpha_2 : I_F \rightarrow T_w(k_2) = k_2^* \times k_2^* \times k_2^*$$ $$x \mapsto (1, \alpha(x), 1)$$

$$\alpha_3 : I_F \rightarrow T_w(k_2) = k_2^* \times k_2^* \times k_2^*$$ $$x \mapsto (1, 1, \alpha(x))$$

Podemos tire hacia atrás de la acción de $T_w(k)$ a $H_c^*(\widetilde{Y_w})$ a $I_F$ por los mapas $\alpha_i \circ N$. En particular, constituyen la suma directa de $$ \displaystyle\bigoplus_{i=1}^3 (\alpha_i \circ N)$$

Esta suma directa es una $I_F$-acción en $H_c^*(\widetilde{Y_w})$, que es lo que buscábamos. Si $\theta$ es un personaje de $T_w(k)$ en posición general, denotan por $\eta_{\theta}$ el retroceso de $\theta$ a $I_F$ por $ \displaystyle\bigoplus_{i=1}^3 (\alpha_i \circ N)$. A través de esta acción, $H_c^*(\widetilde{Y_w})$, como $U(3,k) \times I_F$-módulo, contiene

$$ \displaystyle\sum_{\theta \in C} \pi_{\theta} \otimes \eta_{\theta}$$

Con una buena cantidad de trabajo (esencialmente en el progreso de Joshua Lansky y a mí mismo, y por los resultados de Josué Lansky y Jeffrey Adler), uno puede mostrar que $\pi_{\theta} \leftrightarrow \eta_{\theta}$ "es el local de Langlands correspondencia". Para ser precisos, habría que decir algo acerca de L-paquetes (desde el L-paquete de este Langlands parámetro se compone de más de una representación), pero voy a pincel que debajo de la alfombra, por ahora. Con mucho menos trabajo (creo), uno puede mostrar que $\pi_{\theta} \leftrightarrow \eta_{\theta}$ está de acuerdo con la correspondencia de DeBacker/Reeder (en particular, DeBacker/Reeder correspondencia es por lo tanto correcto para $U(3,F)$). De nuevo, estoy ignorando toda la L-paquete por ahora (pero esencialmente, usted puede conjugar $\theta$ alrededor de diversas isomorfo a tori en el grupo y obtener un L-paquete de representaciones, como en DeBacker/Reeder). Además, dado que estamos tratando con $U(3,F)$, resulta que ni siquiera necesitamos que preocuparse de `tergiversar", como hicimos con $GL(n,F)$.

Esta por encima de la construcción es análoga a la $GL(n,F)$ ejemplo. En el caso de $GL(n,F)$, uno podría sacar al toro de la acción de regreso a $I_F$ el uso de la norma en el mapa como en el anterior, tomar la suma directa de los análogos $\alpha_i \circ N$, y conseguir el local de Langlands correspondencia `a torcer". Así que en realidad (como lo que puedo decir) esto es lo que se hace en el caso de $GL(n,F)$ así.

No parece completamente razonable que una construcción similar, puede ser capaz de ser llevada a cabo en más generalidad (tal vez esto es una ilusión) .