Interpretación física de los números complejos

Question

Los números complejos se utilizan ampliamente en la mecánica cuántica y en la forma de onda, ¿existe una interpretación física de lo que esto significa sobre la estructura del universo? ¿Por qué no se utiliza en la macrofísica?

¿De verdad creen los físicos que llamar a los números imaginarios una rotación de 90 grados es una respuesta suficientemente buena? Parece que se utiliza en muchos ámbitos para significar cosas similares.

¿Hay alguna explicación que tenga que ver con las dimensiones como he intentado en esta conversación una mejor manera de entenderlas?

Answer 1

Los números complejos se utilizan en todas las matemáticas y, por lo tanto, por extensión se utilizan en otros campos que requieren matemáticas; no sólo en la física, sino también en la ingeniería y otros campos. Intentar asignar una "interpretación física" a un número complejo sería como asignar una interpretación física a un número real, como el número 5.

Un número complejo es sólo una extensión de un número real. A muchos de nosotros nos enseñaron sobre el " línea numérica " en escuela primaria que no es más que una línea que (citando a Wikipedia) sirve como abstracción de los números reales. Al ser una recta, es unidimensional. Los números complejos son lo mismo, excepto que son bidimensionales: en lugar de ser descritos por una línea de números reales de una dimensión, son descritos por una línea de dos dimensiones " plano de números complejos ". Utilizando $i$ para el eje imaginario (donde $i^2 = -1$ ) es una comodidad matemática que hace que los números complejos bidimensionales sean extraordinariamente útiles.

Answer 2

Números complejos son utilizados en la "macrofísica". Se utilizan en el análisis de circuitos eléctricos (especialmente cuando se trata de corriente alterna) y en la dinámica de fluidos. La solución de las ecuaciones diferenciales se simplifica si se utilizan los números complejos, al igual que el análisis de Fourier. Cualquier situación que implique funciones periódicas o cíclicas puede modelarse con números complejos.

Answer 3

El objeto fundamental de la mecánica cuántica es el amplitud que codifica la información sobre cómo un sistema pasa de un estado a otro. Por ejemplo, si se realiza un experimento de doble rendija, se puede estudiar cómo un electrón pasa del estado de prerendimiento a un estado en el que llega a un lugar determinado $x$ en el detector. Para cada estado de resultado diferente habría una amplitud diferente $\mathcal{M}_x$ .

Nos interesan las amplitudes porque pueden informarnos sobre las probabilidades. Según la regla de Born, la probabilidad de que el electrón acabe en el lugar $x$ viene dado por el valor absoluto del cuadrado de la amplitud, $P(x) = |\mathcal{M}_x|^2$ .

La probabilidad es un número real no negativo, pero ¿qué tipo de objeto debe representar la amplitud? ¿Un número real positivo? ¿Cualquier número real? ¿Un par de números reales? ¿Un número complejo? ¿Algún objeto matemático aún más abstracto?

Este documento aborda la cuestión observando que, puesto que las amplitudes corresponden a diferentes experimentos, y los experimentos pueden encadenarse de varias maneras, tenemos que ser capaces de combinar dos amplitudes para obtener una tercera amplitud, y tenemos que ser capaces de combinarlas al menos de dos maneras distintas. El artículo demuestra entonces que, si se opta por representar las amplitudes como pares de números reales, las operaciones que corresponden a la combinación de experimentos acaban actuando exactamente como la suma y la multiplicación complejas.

El artículo no responde a la pregunta de por qué las amplitudes deben ser pares de números reales en lugar de números reales simples, o triples o algo más complejo, pero es un buen punto de partida para ver cómo la aritmética compleja se sale de la lógica de los experimentos cuánticos.

P.D. El uso de números reales únicos para las amplitudes no puede explicar el experimento de la rendija única / doble rendija, en el que al añadir una segunda rendija se obtienen ceros en la distribución de probabilidad que no estaban presentes en la distribución de probabilidad de la rendija única. Utilizar un par de números reales (o un número complejo) es el siguiente sistema más sencillo que puede explicar este comportamiento.

Answer 4

Número complejo como cualquier número por sí solo no dice nada sobre la física en absoluto. Tiene que estar ligado a alguna(s) unidad(es) de medida o tener una definición bien definida en física.

Por ejemplo, el índice de refracción complejo se define en física como :

$$ {\displaystyle {\underline {n}}=n+i\kappa .} $$

Aquí la parte imaginaria $\kappa$ se define como coeficiente de atenuación - resistividad de la materia a la penetración de las ondas luminosas

EDITAR

Los números complejos se utilizan intensamente en la descripción de cualquier tipo de ondas, porque se puede poner la amplitud y la fase de la onda en una sola amplitud de onda de valor complejo:

$$ Z = Ae^{i\phi} $$

Así que la mayoría de las cosas relacionadas con las ondas pueden ser, al menos teóricamente, expresadas en números complejos.
Por ejemplo, el índice de refracción complejo se puede relacionar con otras propiedades ondulatorias: $$ \underline{k} = 2\pi \underline{n}/_0 $$ donde $\underline{k}$ es el número de onda complejo

BONO

Otra razón por la que el plano complejo es atractivo: puedes hacer más matemáticas si no estás atado a los números reales. Por ejemplo, se puede tomar un logaritmo natural de negativo número real : $$ \ln(-x) = \ln(x) + \pi \space \textrm{i} $$

¡lo que da como resultado un número complejo ! Por lo tanto, nunca confíes en tu calculadora de bolsillo

Answer 5

Los números complejos son sólo una forma conveniente de representar un vector bidimensional. Se utilizan en todo tipo de situaciones cotidianas en las que hay una componente X y otra Y, o una magnitud y una fase.