$GL_n(\Bbb Z_p)$ clases conjugacy en un $GL_n(\Bbb Q_p)$ clase conjugacy

Question

Es fácil clasificar las clases conjugacy en $GL_n(\mathbb Q_p)$ por el álgebra lineal. Cómo clasificar las $GL_n(\Bbb Z_p)$ clases conjugacy en un $GL_n(\Bbb Q_p)$ conjugacy clase? Por ejemplo, para la matriz general $A \in GL_n(\mathbb Z_p)$, ¿cuántas $X \in GL_n(\mathbb Z_p)$ se $GL_n(\mathbb Q_p)$ conjugado de a $A$ a $GL_n(\mathbb Z_p)$ conjugaction? En algunos casos es finito, es siempre finito?

Motivación: cuando se cuentan invariante celosías, uno viene a través de este tipo de problemas.

Edit: podemos encontrar algunos invariantes numéricos que distinguen las diferentes $\Bbb Z_p-$ clases conjugacy?

Answer 1

Es siempre finito? No.

Las matrices $u_n=\begin{pmatrix}1 & p^n\\0 & 1\end{pmatrix}\in\mathrm{GL}_2(\mathbf{Z}_p)$ son todos conjugado en $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$, y los pares no conjugada en $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Z}_p)$.

De hecho, una matriz en la $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ conjugación $u_n$ a $u_{n+m}$, para $m\ge 1$, es necesariamente de la forma $\begin{pmatrix}p^m\lambda & p^m\lambda\mu\\0 & \lambda\end{pmatrix}$ para escalares $\lambda\neq 0$, $\mu$. Si es en $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Z}_p)$, el factor determinante $p^m\lambda^2$ tiene que ser de valoración $0$, por lo tanto $\lambda$ tiene valoración $-m/2<0$ e $p^m\lambda$ tiene valoración $m/2>0$, y por lo tanto la traza $\lambda+p^m\lambda$ también ha de valoración $-m/2$, contradicción ya que el seguimiento debe ser en $\mathbf{Z}_p$.

Me gustaría ser más optimista para semisimple clases conjugacy.

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Desde que François demostrado la finitud de semisimple clases conjugacy, me deja completar la prueba de lo contrario: a saber, que si el $\mathrm{GL}_d(\mathbf{Q}_p)$-clase conjugacy de $A\in M_d(\mathbf{Q}_p)$ se divide en un número finito de $\mathrm{GL}_d(\mathbf{Z}_p)$-clases conjugacy, a continuación, $A$ es semisimple.

De hecho, las primeras si $P$ es un polinomio distinto de cero, la intersección de $\mathrm{Ker}(P(A))$ con $\mathbf{Z}_p^d$ es un sumando directo de este último como $\mathbf{Z}_p$-módulo. Por lo tanto, hasta la conjugación por algún elemento de $\mathrm{GL}_d(\mathbf{Z}_p)$, podemos suponer que $A$ es de bloque triangular superior $$A=\begin{pmatrix} A_1 & \dots &\\ 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 &A_k\end{pmatrix}$$ such that for each diagonal block $A_i$ there is some irreducible polynomial $P_i$ over $\mathbf{Q}_p$ such that $P_i(A_i)$. Let $A'$ be the block-diagonal matrix with the same diagonal blocks $A_i$, so $A'$ is semisimple. Let $u$ be the diagonal matrix that equals $p^{k-i}$ on the $i$-th block. Then $\lim_{n\to\infty}u^iAu^{-i}=A'$.

Asumir la finitud de la propiedad. Desde la $\mathrm{GL}_d(\mathbf{Z}_p)$-clases conjugacy son compactos y hay un número finito en el $\mathrm{GL}_d(\mathbf{Q}_p)$-clase conjugacy $\mathcal{C}$ de $A$, podemos deducir que están abiertas en $\mathcal{C}$. En particular, para $n$ lo suficientemente grande, $u^iAu^{-i}$ pertenece a la $\mathrm{GL}_d(\mathbf{Z}_p)$-clase conjugacy de $A'$. Esto demuestra que $A$ es semisimple.

Answer 2

La respuesta es sí si $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}_p)$ es semisimple.

Podemos pensar en una matriz de $A \in M_n(\mathbb{Z}_p)$ como $\mathbb{Z}_p$-red de rango $n$ dotado de una $\mathbb{Z}_p$-lineal endomorfismo: tome el estándar de celosía $L=\mathbb{Z}_p^n$ dotado con el endomorfismo $\varphi$ asociado a $A$. Claramente, dos matrices $A,A' \in M_n(\mathbb{Z}_p)$ se $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}_p)$conjugados si y sólo si los pares asociados $(L,\varphi)$ e $(L',\varphi')$ son isomorfos.

Más formalmente, considerar el álgebra $R = \mathbb{Z}_p[A]$ dentro $M_n(\mathbb{Z}_p)$. A continuación, $A$ da lugar a una $R$-módulo de $M$ que es $\mathbb{Z}_p$libre de rango $n$. Tenga en cuenta que si $A' \in M_n(\mathbb{Z}_p)$ es otra matriz que es $\mathbb{Q}_p$-conjugado de a $A$ , a continuación, las álgebras de $\mathbb{Z}_p[A]$ e $\mathbb{Z}_p[A']$ son isomorfos, como ambos son isomorfos a $R = \mathbb{Z}_p[X]/(\mu)$ donde $\mu$ denota el mínimo polinomio. Sin embargo, el asociado $R$-módulos de $M$ e $M'$ no necesita ser isomorfos. De hecho, son si y sólo si $A$ e $A'$ se $\mathbb{Z}_p$-conjugados.

Así el problema se reduce a la clasificación de la $R$-módulos que se $\mathbb{Z}_p$libre de rango $n$ hasta el isomorfismo. En el semisimple caso, el siguiente teorema de Jordan-Zassenhaus da una respuesta positiva a su tercera pregunta.

Teorema (Jordania-Zassenhaus). Deje $K$ ser local o global de campo con anillo de enteros $\mathcal{O}_K$. Deje $L$ ser un (propiedad conmutativa) semisimple $K$-álgebra, y deje $R$ ser $\mathcal{O}_K$-orden en $L$. Entonces para cualquier entero $n \geq 1$, el conjunto de clases de isomorfismo de $R$-módulos que se $\mathcal{O}_K$-celosías de rango $\leq n$ es finito.

El caso en cuestión sigue tomando $K=\mathbb{Q}_p$, $L=\mathbb{Q}_p[X]/(\mu)$ e $R=\mathbb{Z}_p[X]/(\mu)$ donde $\mu$ es un squarefree polinomio. Una prueba de la Jordania-Zassenhaus teorema se da en Reiner, Máxima órdenes, (26.4), p. 228. Está indicado sólo para el global de los campos, pero se puede comprobar que también se aplica para los campos locales.

EDIT. La prueba no es difícil: la primera de ellas trata el caso en que $R$ es una máxima de la orden, que es clara, ya que es un producto discreto de la valoración de los anillos (de ahí PIDs). Si $R' \subset R$ es un orden arbitrario y $M'$ es $R'$-red, a continuación, sólo hay un número finito de posibilidades para $M=M' \otimes_{R'} R$, y desde $p^N M \subset M' \subset M$ hay sólo un número finito de posibilidades para $M'$. Así, obtenemos la finitud.

Respecto a la pregunta explícita de una clasificación, usted puede estar interesado por Marseglia el artículo de Computación en el ideal de clase monoid de una orden, donde se da algoritmos para calcular explícita representantes (en el global de los casos).

EDICIÓN 2. Otro artículo en el que da un algoritmo en el mundial de caso apareció en el arXiv hoy: https://arxiv.org/abs/1811.06190