No diferenciable funciones de Lipschitz

Question

Como tengo entendido, hay funciones de Lipschitz $f:\mathbb{R}\to\ell^\infty$ que son diferenciable en el Frechet sentido. Donde puedo encontrar un ejemplo?

Answer 1

Además de Anthony Quas respuesta, puede ser vale la pena mencionar las siguientes observaciones generales.

Un espacio de Banach $X$ se dice que el Radon-Nikodym propiedad si cada Lipschitz asignación de $f: \mathbb{R} \to X$ es derivable en casi todas partes.

Aquí están algunas observaciones interesantes sobre esta propiedad (que se pueden encontrar en [1, Sección 1.2]):

• Cada reflexiva espacio de Banach tiene el Radon-Nikodym de la propiedad [1, Corolario 1.2.7].

• Si $X$ es separable y tiene un pre-doble espacio de Banach, entonces $X$ tiene el Radon-Nikodym de la propiedad [1, Teorema 1.2.6].

• Si $V$ es un subespacio vectorial cerrado de $X$ e $X$ tiene el Radon-Nikodym la propiedad, y así ha $V$ (esto es obvio, por supuesto).

• El espacio de $c_0$ no tiene el Radon-Nikodym de la propiedad [1, la Proposición 1.2.9]. (El contraejemplo, puesto que en realidad es el mismo que en Anthony Quas' respuesta). De ello se desprende, en particular, que un espacio de Banach que contiene un isomorophic copia de $c_0$ como un subespacio cerrado, no tiene el Radon-Nikodym de la propiedad.

• En particular, el espacio de $C([0,1])$ no tiene el Radon-Nikodym de la propiedad. De forma más explícita contraejemplo en este espacio también se puede encontrar en [1, Ejemplo 1.2.8(a)].

• El espacio de $L^1(0,1)$ no tiene el Radon-Nikodym de la propiedad [1, la Proposición 1.2.10].

Referencia:

[1]: Arendt, Batty, Hieber, Neubrander: "Vector de valores de transformadas de Laplace y Cauchy Problemas" (2011).

Comentario La pregunta pide una función de Lipschitz $f: \mathbb{R} \to X$ que es la nada diferenciable. Como se señaló Bill Johnson (en los comentarios de abajo esta respuesta), si un espacio de Banach $X$ no tiene el Radon-Nikodym de la propiedad, entonces siempre existe una Lipschitz continua en función de $f: \mathbb{R} \to X$ que es diferenciable.

Answer 2

Definir $f_n(t)=\sin(nt)/n$ e $\phi(t)=(f_1(t),\ldots)$. Esto ha de Lipschitz constante 1, pero no tiene Fréchet derivado de lo que puedo decir.