Sustituir las categorías trianguladas por algo mejor

Question

Gelfand y Manin, en su libro de 1988 sobre álgebra homológica, escriben que la no-funcionalidad de los conos significa que "algo va mal en los axiomas de una categoría triangulada. Desgraciadamente, por el momento no tenemos una versión más satisfactoria".

¿Sigue siendo esta una descripción justa de la situación?

Answer 1

Mi opinión, y la de muchas otras personas aunque no la de todos, es que la noción "correcta" es la de estable -categoría .

Ahora bien, no se trata de una categoría en sentido estricto, sino de una generalización de la noción de categoría conocida como (,1)-categoría o -categoría para abreviar, donde a cualquier par de objetos $x,y$ existe un tipo de homotopía asociado $\mathrm{Map}_{\mathcal{C}}(x,y)$ , que suele llamarse espacio cartográfico . Se puede obtener una categoría a partir de ese dato tomando los componentes conectados $\pi_0\mathrm{Map}_{\mathcal{C}}(x,y)=:[x,y]$ . La categoría resultante se denomina categoría de homotopía $h\mathcal{C}$ y puede verse como la mejor aproximación que se puede dar de una -categoría utilizando una categoría ordinaria.

Se puede hablar de límites y colímites en una -categoría, y de hecho casi toda la teoría clásica de categorías pasa por este escenario más general sin problemas (aunque con alguna que otra modificación muy importante). Entonces se puede decir que una -categoría $\mathcal{C}$ es estable si cumple las dos condiciones siguientes:

• Tiene un objeto cero (es decir, un objeto $0$ tal que $\mathrm{Map}(x,0)$ y $\mathrm{Map}(0,x)$ son contraíbles para cada $x\in\mathcal{C}$ ).

• Tiene todos los pullbacks y pushouts y un cuadrado (es decir, un diagrama de la forma $[1]\times [1]\to\mathcal{C}$ ) es cartesiano si es cocartesiano.

Como puede ver, es una definición bastante sencilla. Se puede reformular de varias maneras equivalentes, algunas de las cuales son bastante fáciles de comprobar. Esta noción tiene algunas propiedades muy importantes:

• Para toda categoría estable $\mathcal{C}$ la categoría de homotopía $h\mathcal{C}$ tiene una estructura canónica triangulada.

• Todas las categorías trianguladas que aparecen realmente en la práctica matemática suelen venir equipadas con un enriquecimiento estable específico (es decir, una -categoría estable cuya categoría de homotopía es la categoría triangulada en la que se está pensando). En algunos casos, la categoría estable es más fácil de definir.

• Hay ejemplos de categorías trianguladas que no provienen de una -categoría estable. Todos los ejemplos tienden a parecer poco naturales, y nos gustaría mucho una definición que los excluya.

• En las categorías estables, muchos de los teoremas que uno esperaría que fueran ingenuamente ciertos para las categorías trianguladas son realmente ciertos. Por ejemplo, los conos son funcionales y se puede definir la teoría K algebraica de una categoría estable (¡mientras que no se puede hacer para una categoría triangulada!), obteniendo los resultados esperados (por ejemplo, la teoría K algebraica de la categoría estable de complejos perfectos sobre un anillo es exactamente la teoría K algebraica del anillo).

• De forma más abstracta, las categorías estables funcionan bien en las familias. Por ejemplo, el functor que envía un esquema $X$ a la categoría estable de complejos perfectos sobre $X$ es una gavilla fppf (para una noción apropiada de gavilla de -categorías). Esto es no para las categorías trianguladas correspondientes.

Answer 2

Una observación rápida que todo el mundo debería saber, pero que parece que yo he sido el primero en notar, es que el axioma de relleno, en el que la no-funcionalidad de los conos es más evidente, es en realidad redundante. Está implicado por el llamado axioma octaédrico, que es puramente un axioma sobre el comportamiento de los triángulos exactos con respecto a la composición, junto con los axiomas menos sustanciales. Es decir, con la nomenclatura habitual, los (TR1), (TR2) y (TR4) de Verdier impiden el suyo (TR3). Véase la sección 2 de http://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/AddJan01.pdf . Es notable la cantidad de matemáticas que se pueden hacer a partir de estos axiomas dolorosamente simples, que están diseñados para ser aplicables en el nivel de la categoría de homotopía en el entorno más general posible. Por supuesto, a menudo también se necesitan contextos más restrictivos y elaborados antes de pasar a las categorías de homotopía (partiendo de categorías modelo o de $\infty$ categorías o de $\cdots$ según el gusto y la necesidad --- personalmente, creo en ser ecléctico, no en `` nociones "correctas").

Answer 3

Yo propondría una alternativa diferente. Se trata de la teoría de los derivadores (de Grothendieck), al menos la variante estable. También fue desarrollada por Heller bajo el nombre de "teorías de homotopía" y está muy relacionada con las "torres de categorías trianguladas" de Keller y con los "sistemas de categorías de diagramas triangulados" de Franke. A grandes rasgos, a una categoría triangulada base se le añaden todos los límites y colímites de homotopía, esencialmente adjuntos (que surgen como extensiones de Kan) al diagrama constante con valores en una categoría triangulada de "diagramas coherentes".

Una vez que se tiene un derivador, ser estable es una propiedad, no una estructura sobre él. Esta propiedad es razonablemente fácil de comprobar en los principales ejemplos y distingue los fenómenos estables. La estabilidad produce inmediatamente una colección de triángulos distinguidos que satisfacen los axiomas habituales. También los octaedros y los triángulos superiores se producen por esta propiedad y se comportan de forma correcta desde el punto de vista homotópico, satisfaciendo implícitamente las propiedades universales hasta la homotopía que los define.

Una exposición muy agradable es el artículo de Groth "Derivadores, derivadores puntuales y derivadores estables" ( Topología algebraica y geométrica 13 (2013), 313-374)

http://www.math.uni-bonn.de/~mrahn/publications/groth_derivators.pdf

Para algunas personas esta noción es más sencilla que $\infty$ -y abarca el trabajo realizado recientemente sólo con los axiomas mencionados por Peter May en su respuesta junto con la existencia de coproductos arbitrarios.

La idea de Grothendieck era expresar el significado profundo de la noción de homotopía. Hasta qué punto lo consiguió es discutible. Pero, la flexibilidad de los derivadores estables para extender las construcciones homotópicas en categorías trianguladas sin recurrir a las categorías modelo es una de las características que algunas personas pueden encontrar útiles.