Hacer números racionales admitir un categorification que respeta la siguiente "dualidad"?

Question

Tengo que dar un montón de bastante básico de fondo a esta pregunta porque creo que (al menos desde conversando con estudiantes de posgrado) que la mayoría de los matemáticos no han realmente pensaba acerca de fracciones por un largo tiempo. Creo que hay un interesante germen de una idea de aquí en alguna parte, pero no puedo determinar con precisión ella. Esencialmente, parece ser que hay dos formas canónicas para resolver problemas de división y no parece ser un "isomorfismo natural" en relación con las dos formas. Estoy interesado en la elaboración de esta dualidad formalmente: hay un "categorification" de los números racionales donde esta dualidad puede ser, precisamente, enmarcado?

I TA una clase para los futuros maestros de la escuela primaria. La idea es ir hacia atrás y realmente entender la escuela primaria matemáticas en un nivel profundo. Esperemos que este entendimiento se pasa a la siguiente generación.

Estábamos discutiendo la división de fracciones. En lugar de decir "lo Suyo no es de extrañar por qué, simplemente invertir y multiplicar", tratamos de hacer que el sentido de esta pregunta físicamente y, a continuación, utilizar el razonamiento para resolver el problema. Tomar (3/4) / (2/3). Cuando se hace esto parece ser que hay dos interpretaciones razonables:

1) 3/4 de una taza de leche llena 2/3 de un contenedor. ¿Qué cantidad de leche (en tazas) se tarda en llenar todo el recipiente?

Este es un "¿cuántos en cada grupo" problema de la división, de forma análoga a la conversión de 6/3 en la pregunta "Si tengo seis objetos divididos en tres grupos iguales, ¿cuántos de objetos en cada grupo?"

La solución que mira fijamente en la cara si se dibuja un panorama de esta situación es la siguiente: 3/4 de una taza llena 2 tercios de un contenedor. Eso significa que debe ser de 3/8 tazas de leche en cada uno de los terceros en el contenedor. Un contenedor debe tener 9/8 tazas de leche luego, porque este es el 3 de estas terceras partes. Tenga en cuenta que la solución consistió en primera división y, a continuación, multiplicando.

2) he 3/4 tazas de leche, y he botellas que cada uno tiene 2/3 de una taza. Cuántas botellas se pueden llenar?

Este es un "¿cuántos grupos de" problema de la división, de forma análoga a la conversión de 6/3 en la pregunta "Si tengo seis objetos divididos en grupos de dos, ¿cuántos grupos de tengo?"

La solución que propuso esta situación es la siguiente: 3/4 de taza de leche es en realidad 9 partes de una taza . Cada xii es un octavo de una botella. Así que tengo 9/8 de una botella. Esta solución consistió en primer multiplicando y dividiendo.

Ahora me vienen a mi pregunta. Este patrón persiste! Cada ejemplo del mundo real de un "¿cuántos en cada grupo" problema de la división sugiere una solución de primera división y, a continuación, multiplicar, mientras que cada "¿cuántos grupos de" problema de la división implica en primer lugar el multiplicando y dividiendo. Parece que la solución del problema en otro orden de no admitir conceptual de la realización en términos del problema original. Esto es interesante para mí! Se sugiere que los dos métodos de solución son fundamentalmente diferentes de alguna manera. El enfoque estándar a los números racionales (números naturales obtener grothendieck agrupados en números enteros, con la que se obtienen anillo de fraccionó en los números racionales) omite este tipo de distinción. Hay un "categorification" de los números racionales, que conserva la dualidad entre estos dos tipos de pregunta?

ACTUALIZACIÓN 1: En la categoría de conjuntos, si usted quería expresar $(\frac{6}{2})(3) = \frac{(6)(3)}{2}$ lo que tendría que hacer algo como esto:

Deje $A$ ser un conjunto con 6 elementos, $B$ un conjunto con 3 elementos, $\sim$ una relación de equivalencia en a, donde cada clase de equivalencia tiene 2 elementos, y $\cong$ una relación de equivalencia en $A \times B$ donde cada clase de equivalencia tiene 2 elementos. Entonces no hay canónica de morfismos de $(A/ \sim) \times B \to (A \times B)/ \cong$. Esto parece explicar las cosas un poco en el nivel de enteros, pero estamos hablando de fracciones de aquí.

ACTUALIZACIÓN 2: Qiaochu señala en un comentario a la respuesta que el orden de las operaciones no es lo más esencial aquí. Usted puede resolver el primer problema, mediante la observación de que 9/4 tazas de leche relleno de 2 contenedores, por lo que 9/8 debe llenar una. Torsors dar una distinción formal entre las dos situaciones, pero todavía se siente como UPDATE 1 debe ir a través de un adecuado categoría de "fracciones de conjuntos".

ACTUALIZACIÓN 3: Para una muy buena discusión de las ideas relacionadas con Theo respuesta ver http://golem.ph.utexas.edu/category/2008/12/groupoidification_made_easy.html

Answer 1

Yo no pretendo tener una respuesta completa, pero quería ponerlo aquí para que los demás puedan contribuir a la elaboración de la misma.

Creo que el "clásico" (a un lado: en un reciente seminario sobre Heegaard Floer homología, la palabra "clásico" se define como "publicado en el arXiv") categorification de la positiva racionales es para el mundo finito de groupoids. Esto es, en cualquier caso, el enfoque empujado por Juan Báez y colaboradores en su HDA y Groupoidification de la serie. Usted puede saber ya, pero voy a revisar la estructura básica para otros lectores. Así que recordar que un número finito de groupoid es precisamente: un conjunto finito de objetos, y para cada par de objetos de un conjunto finito de maneras que son isomorfos, y algunas reglas de composición, de modo que isomorfismo es transitiva. El más simple de los ejemplos de groupoids son: discreta groupoids, también conocido como "conjuntos", en el que cada objeto es isomorfo a sí mismo, exactamente, de una manera, y no isomorfo a cualquier otro objeto; y "punto de mod G", en la que hay un único objeto, y un grupo finito G la pena de formas que es isomorfo a G debe ser un grupo de manera que isomorfismo es correctamente transitiva). Hay una buena noción de "equivalencia" de groupoids, en el que, por ejemplo, la groupoid con sólo un objeto, que es isomorfo a sí mismo de una sola manera, es equivalente a la groupoid con dos objetos, cada uno de isomorfo a sí mismos, precisamente de una manera, y que son isomorfos a cada uno de los otros precisamente en una forma. Groupoids tener una buena noción de "separe de la unión", y de hecho cada finito groupoid es equivalente a un groupoid que es un discontinuo de la unión de varios "punto de mod G"s de los diversos grupos G, al igual que cualquier conjunto finito es un discontinuo de la unión de los puntos.

Lo Báez y Dolan, describió fue la correcta noción de "cardinalidad" de un groupoid. Es decir, la cardinalidad es aditivo bajo discontinuo de la unión, conservado en virtud de la equivalencia de groupoids, y la cardinalidad de "punto de mod G" es de 1/|G|. (Que demostrar que esta única y define una cardinalidad.) También hay un concepto de producto cartesiano de groupoids, y esta noción de cardinalidad es multiplicativo, en productos. Por otra parte, si un grupo G actúa sobre otro groupoid X, entonces no es un "cociente groupoid" X//G, que tiene los mismos objetos como X y extra isomorphisms para la G de acción. Si la acción es libre, entonces X//G es equivalente a la habitual "grueso" cociente X/G. por otra parte, la cardinalidad de X//G es la cardinalidad de X dividido por el número de elementos del grupo de G.

Ya hay grupos de positivos arbitrarios entero de cardinalidad, hay groupoids de arbitrario no negativo-racional de la cardinalidad. En este sentido, {Groupoids} categorifies {Racionales}.

Pero hay al menos dos razones para sospechar de esta propuesta de categorification. Primero de todo, a pesar de la adición y la multiplicación categorify como suponemos --- a la desunión de la unión y producto cartesiano --- la división es un poco extraño. No es la inversa de la multiplicación, excepto en uno de los lados: si usted toma un groupoid Una, si se multiplica por un conjunto B, y luego se divide por un grupo que actúa libremente y transitivamente sobre B, se obtiene un groupoid equivalente a Una; pero si la divides en primer lugar, no se pueden multiplicar. Del mismo modo, no es cierto en general que X//G es equivalente a X veces pt//G. tal vez hay algún tipo de "semidirect producto" o "cruzado producto" de groupoids que realmente unificar todo --- no sé. En cualquier caso, cuando Báez explica su división, que trata el numerador y el denominador de manera muy diferente: el numerador es algo así como un conjunto, mientras que el denominador es algo así como un grupo.

Segundo, no es cierto que {Racionales} son el "grupo de grothendieck" de {Groupoids}, al menos no sin algún trabajo pesado groupifying. Al menos, hay muchos no equivalentes groupoids con la misma cardinalidad. Tal vez esto es una ventaja desde el punto de vista de su pregunta: {Groupoids} puede ser capaz de distinguir los dos tipos de división que se esboza.

Answer 2

Permítanme ampliar la respuesta que me dieron en el meta. En mi mente la adecuada "categorification" comienza con la observación de que "tazas" es una unidad, y en el primer enfoque que dotar sólo el numerador con unidades, mientras que en el segundo enfoque que dotar, tanto en el numerador y denominador con las unidades. Esto se formaliza de la siguiente manera. Cantidades con unidades que toman valores en $\mathbb{Q}$ son torsors para el cero racionales $G$ bajo la multiplicación, por ejemplo, $G$- conjuntos de $X$ cuales son gratuitos y transitiva. La elección de la unidad corresponde a una elección de un elemento de $X$ contra el cual todos los otros elementos se miden.

En el primer enfoque, dar un elemento de grupo $g = \frac{2}{3}$ y un elemento del conjunto de $x = \frac{3}{4} \text{ cup}$ (donde $\text{cup}$ es el distinguido elemento de $X$) y se pide encontrar el único $y \in X$ tal que $gy = x$. En el segundo enfoque, se dan dos elementos $x = \frac{3}{4} \text{ cup}, y = \frac{2}{3} \text{ cup}$ y se pide encontrar el único $g \in G$ tal que $gy = x$. Así que creo que la clave aquí es que el grupo de acción, como una función de $G \times X \to X$, golosinas $G$ e $X$ casi el mismo, pero no canónicamente así. (Yo no lo he pensado, pero es también significativo que en el primer problema con el que uno puede escribir $y = g^{-1} x$, mientras que en el segundo problema es realmente necesario, o al menos naturales, para expresar $x$ e $y$ en términos de $\text{cup}$ para determinar el $g$.)

Answer 3

Otra forma de categorifying $\mathbb{Q}_+$ es de la siguiente manera:

Deje $\mathcal{F}$ ser la categoría de finita no vacía de conjuntos y bijections. Este es un monoidal simétrica categoría con respecto a las $\times$. Deje $\mathbb{N}$ ser visto como un monoidal simétrica categoría, de tal manera que los objetos se $\mathbb{N}$, y solo tenemos identidad de morfismos. El producto está dada por el producto habitual de $\cdot$ en $\mathbb{N}$.

Entonces es evidente que existe una monoidal simétrica functor $G \colon \mathcal{F} \to \mathbb{N}$, que simplemente cuenta los elementos en el conjunto. Tomando Grayson Quillen construcción en ambos lados, obtenemos un monoidal simétrica functor:

$G' \colon \mathcal{F}^{-1}\mathcal{F} \to \mathbb{Q}_+$,

que puede ser visto como un categorification (tenga en cuenta que este es también el $\pi_0$ functor). Los Grayson Quillen construcción puede ser pensado como un categorified versión de la Grothendeick de la construcción. Los objetos en $\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}$ son pares de objetos en $\mathcal{F}$ que me sugestivamente escribir como $A/B$

Si sólo utilizamos el esqueleto de la categoría de $\mathcal{F}$ dada por los objetos de $s_n=\{1,\dots,n\}$ por cada $n\in \mathbb{N}$ tenemos que $G$ es un isomorfismo en el conjunto de los objetos. Esto no es cierto para $G'$, porque tenemos implícitamente dividido por isomorphisms en la imagen (es decir, $p/q=np/(nq)$ en $\mathbb{Q}_+$ no sólo isomorfo los objetos como son en la Grayson Quillen construcción en $\mathbb{N}$). No podemos hacer esto en el dominio de $G'$ porque $s_p/s_q$ NO es isomorfo a $s_{np}/s_{nq}$. Sin embargo, hay muchos mapas de $s_p/s_q$ a $s_{np}/s_{nq}$, que identifica al tomar $\pi_0$.

Debo señalar que yo creo (pero no estoy seguro) de que esto puede ser hecho de bi-monoidal tomando la categoría de conjuntos finitos y bijections como un bimonoidal categoría y localización con respecto a $\times$ sobre el total de la subcategoría de finito y no vacío de conjuntos.