¿Una serie de potencias reales que mapea racionales a racionales está definida por una función racional?

Question

Supongamos que la función $p(x)$ se define en un subconjunto abierto $U$ de $\mathbb{R}$ por una serie de potencias con coeficientes reales. Supongamos, además, que $p$ mapea racionales a racionales. Debe $p$ definirse en $U$ por una función racional?

Answer 1

No. De hecho, $p(x)$ puede ser una función analítica compleja con coeficientes racionales que toma cualquier número algebraico $\alpha$ en un elemento de $\mathbb{Q}(\alpha)$ . (Y en todas partes las funciones analíticas no son racionales a menos que sean polinomios).

Los números algebraicos son contables, por lo que se puede encontrar una secuencia contable de polinomios $q_1(x), q_2(x), \ldots \in \mathbb{Q}[x]$ tal que todo número algebraico es una raíz de $q_n(x)$ para algunos $n$ . Supongamos que el grado de $q_i(x)$ es $a_i$ y elegir números enteros $b_i$ tal que $$b_{n+1} > b_{n} + a_1 + a_2 + \ldots + a_n.$$

A continuación, considere la serie de potencia formal:

$$p(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^{b_n} \left( \prod_{i=0}^{n} q_i(x) \right),$$

Mediante la construcción de $b_n$ el coeficiente de $x^k$ para $k = b_n$ a $b_{n+1} -1$ en $p(x)$ es el coeficiente de $x^k$ en $c_n x^{b_n} \prod_{i=1}^{n} q_i(x)$ . Por lo tanto, la elección del $c_n$ para que sean números racionales números racionales pequeños, se puede asegurar que los coeficientes de $p(x)$ disminuyen con suficiente rapidez y garantizan así que $p(x)$ es analítica.

Por otro lado, claramente $p(\alpha) \in \mathbb{Q}[\alpha]$ para cada (algebraica) $\alpha$ porque entonces la suma anterior será una suma finita.

Con una ligera modificación se puede incluso garantizar que la misma propiedad se mantiene para todas las derivadas de $p(x)$ .

Este divertido argumento lo aprendí del siempre entretenido Alf van der Poorten (que lamentablemente murió hace poco).

Answer 2

Puedes mapear $\mathbb{Q}$ en sí mismo por un montón de funciones enteras que no son funciones racionales. Fijemos una enumeración de los racionales, $\mathbb{Q}=\{q _ j\ : j=1,2,\dots \} $ . Considere una serie $$f(x):=\sum_{n=1}^\infty\ \epsilon _n \ \prod _{j=1}^n (x-q _j)$$ Si $\epsilon _n$ es una sucesión de racionales que convergen a 0 con suficiente velocidad, la serie converge uniformemente en conjuntos acotados a una función entera.

(editar) rmk. Por supuesto, con un poco más de cuidado podemos incluso hacer una función completa $f(x)=\sum_{n=0}^\infty p _n(x)$ invertible sobre $\mathbb{R}$ y una biyección entre dos subconjuntos densos contablemente infinitos asignados $A$ y $B$ . Comenzar la serie con la identidad $p_0(x)=x$ , entonces añade inductivamente sólo los polinomios de grado impar $p _n$ que desaparecen en los puntos (finitos) ya resueltos, y no destruyen la invertibilidad en $\mathbb{R}$ (por ejemplo, manteniendo todas las sumas parciales de la serie con derivada mayor que $1/2$ ). La biyectividad entre $A$ y $B$ debe garantizarse mediante un argumento estándar de ping-pong.