Cuando la simple cohomological cálculos predicen ingenioso algebro-construcciones geométricas?

Question

Clásicos de la geometría algebraica está lleno de ingeniosas construcciones y milagrosa coincidencias: 27 líneas en un cúbicos de superficie están relacionados con Weyl entramado de tipo $E_6,$ líneas en una intersección de cuatro dimensiones quadrics son parametrizadas por un Jacobiano de género de dos curvas y así sucesivamente.

La existencia de algunas construcciones de este tipo puede ser predicha por la simple cohomological cálculos. Por ejemplo, considere un suave intersección $X$ de dos quadrics $Q_1$ e $Q_2$ en $\mathbb{P}^5.$ Este ejemplo se explica en detalle en el hermoso papel de La completa intersección de dos o más quadrics de miles Reid. Es fácil ver que $h^{p,q}(X)$ es igual a $1$ para $$(p,q)\in \{(0,0),\ (1,1),\ (2,2),\ (3,3)\},$$ equals to 2 for $$(p,q)\in \{(1,2),\ (2,1)\}$$ and equals to $0$ in other cases. Generalized Hodge Conjecture predicts that there exists a certain curve $C$ and a correspondence $D\subconjunto de C\veces X$ que induce un surjective de morfismos $$H^1(C,\mathbb{Z})\longrightarrow H^3(X,\mathbb{Z})(-3).$$ Construcción explícita de esta correspondencia se basa en la identificación del esquema de Hilbert de líneas en $X$ con Jacobiana $J(C).$

Pregunta 1: ¿Qué otras clásicas construcciones de la geometría algebraica puede ser a posteriori motivado por simples cálculos (mixto) estructuras de Hodge?

Pregunta 2: va a ser muy interesante ver algunos ejemplos concretos, cuando se espera que la construcción de existir, pero no se ha trabajado aún.

Answer 1

Cohomology, con la intersección de la forma, puede dar interesantes celosías. La geometría nos dice que contienen muchos de los elementos de la plaza de la longitud de la $2$son dados por la desaparición de los ciclos en un Lefschetz lápiz. Esto también se aplica a Milnor fibras de las deformaciones de singularidades aisladas. Esta es la forma en que uno reconoce la $E_n$ en el ortogonal de la canónica de la clase en la $\text{H}^2$ de $\mathbb{P}^2$ con $n$ puntos de volado ($n\le8$). Aquí, $n=6$ es el cúbicos superficies caso; el afín caso de $n=9$ cuando uno de los golpes hasta la intersección de las dos curvas cúbicas es muy interesante.

Cuando una $\text{H}^{2n+1}$ es de tipo $\{(2n+1,0),(0,2n+1)\}$, se espera un principalmente polarizada abelian en la variedad está al acecho. Un Jacobina? Un Prym variedad? Para completar las intersecciones en $\mathbb{P}^N$ hay una tabla en el SGA 7 nos dice cuando esta Hodge nivel de uno de los casos se produce. No sé si todos han sido revelados.

Del mismo modo, cúbicos por cuatro parecerse mucho a K3 superficies (con cohomology uno más grande). De ello se deduce que no están relacionados con el Kuga-Satake abelian variedades unen a ellos (cuyas $\text{H}^2(-1)$ contiene su $\text{H}^4$). Esto permitió probar las conjeturas de Weil para ellos (como para el K3), pero sigue siendo bastante unexplicit. El Milnor fibras de la historia se refiere a que cuadrática singularidades que uno puede tener, y cuando muchos se impone, la relativa abelian variedad se reduce a un menor dimensiones, posiblemente más fáciles de ver (caso de Kummer superficies entre K3 s).

Un juego diferente es adivinar los períodos de formas diferenciales ($\zeta(3)$ relacionado con una extensión de $\mathbb{Z}$ por $\mathbb{Z}(3)$, $\ldots$).