¿Es la figura la circunferencia de un círculo unitario?

Question

Un amigo mío me enseñó la siguiente pregunta. ¡Nunca había oído una pregunta tan extraña e interesante!

Qustion : Suponiendo que una figura $S$ que está constituido por puntos, satisface las cuatro condiciones siguientes, podemos decir que $S$ es la circunferencia de un círculo unitario?

1. $S$ cruza en dos señala cada línea que pasa por el origen.

2. $S$ cruza en un punto toda tangente del círculo unitario cuyo centro es el origen.

3. $S$ cruza en dos señala cada línea $L_x$ que satisface las dos siguientes: (i) $L_x$ es paralelo a $x$ -eje. (2) La distancia $d_x$ entre $L_x$ y $x$ -eje satisface $d_x\lt1$ .

4. $S$ cruza en dos señala cada línea $L_y$ que satisface las dos siguientes: (i) $L_y$ es paralelo a $y$ -eje. (2) La distancia $d_y$ entre $L_y$ y $y$ -eje satisface $d_y\lt1$ .

He intentado solucionar esto, pero me encuentro con dificultades. Dijo que la respuesta es NO sin su recuerdo de la propia figura. ¿Podemos encontrar un contraejemplo especial?

Editar : Lo siento. El Pregunta 2 no es una pregunta apropiada, así que la he borrado.

Answer 1

Acabo de obtener la siguiente cifra.

La respuesta a la pregunta es No.

$S$ tiene ocho segmentos de línea $AB, CD, EF, GH, MN, OP, QR, ST$ y cuatro puntos $I, J, K, L$ sin doce puntos $A, B, C, D, E, F, G, H, M, P, R, T$ donde $$A(0,1), B(-\frac12, \frac12), C(-1,0), D(-\frac12, -\frac12), E(0,-1), F(\frac12, -\frac12), G(1,0), H(\frac12, \frac12), I(0,\frac12), J(-\frac12, 0), K(0,-\frac12), L(\frac12,0), M(0,\sqrt{10}), N(\frac{\sqrt{10}}{2},\frac{\sqrt{10}}{2}), O(-\frac{\sqrt{10}}{2},\frac{\sqrt{10}}{2}), P(-\sqrt{10},0), Q(-\frac{\sqrt{10}}{2},-\frac{\sqrt{10}}{2}), R(0,-\sqrt{10}), S(\frac{\sqrt{10}}{2},-\frac{\sqrt{10}}{2}), T(\sqrt{10},0).$$

Creo que esta figura es uno de los contraejemplos.

Answer 2

EDITAR : Esta cifra no es del todo correcta como contraejemplo.

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He conseguido construir este contraejemplo. Es muy, muy "pirateado" y artificioso. Probablemente no es lo que su amigo tenía en mente. Pero es es un contraejemplo

Todo en $\color{blue}{\text{blue}}$ no forma parte de la cifra real.

1. Definir (sólo que esto es en coordenadas polares) $R(\varphi):=(\sqrt{2}, \varphi)$ . Entonces el arco en el primer cuadrante se define como el conjunto de puntos $\{R(\varphi):0 < \varphi < \pi/2\}$ . Mientras que el arco en el tercer cuadrante se define como el conjunto de puntos $\{R(\varphi):\pi < \varphi < 3\pi/2\}$ .
2. $A = (0, A_y)$ tal que $A_y < 1$ está infinitesimalmente cerca de $1$ .
3. $B = (B_x,0)$ tal que $B_x > -1$ está infinitesimalmente cerca de $-1$ .
4. $C = (C_x, 0)$ tal que $C_x < 1$ está infinitesimalmente cerca de $1$ .
5. $D = (0, D_x)$ tal que $D_x > -1$ está infinitesimalmente cerca de $-1$ .
6. $P_1 = (-\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)$ .
7. $P_2 = (\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2)$ .

Por favor, critiquen esta cifra.

Algunos comentarios:

1. Puede que te preocupe que las líneas $y = 0$ y $x = 0$ violaría las propiedades 1, 3 y 4. No lo hacen, porque los arcos no tocan realmente los ejes.
2. ¿Las líneas tangentes $y = x \pm \sqrt{2}$ violar la propiedad 2? No, porque, de nuevo, los arcos no tocan los ejes y esas líneas tangentes tocan uno y sólo uno de los puntos $P_1$ y $P_2$ .
3. Cada una de las líneas tangentes $y = \pm 1$ cruza sólo en un punto. No pasan por ningún punto $A$ ni $D$ .