Hay un motivic de Cauchy de la integral de la fórmula?

Question

Deje $R$ ser un completo dvr con fracción de campo $K$ y residuos del campo de $k$, y deje $X, Y$ dos liso proyectiva $R$-esquemas con isomorfo genérico de fibras.

Es cierto que $[X_k]=[Y_k]$ en $K_0(\text{Var}_k)$?

Recordemos que $K_0(\text{Var}_k)$ es el llamado anillo de Grothendieck de variedades, a saber, la libre Abelian grupo en $k$-variedades, el modulo de la relación $[X]=[Y]+[X\setminus Y]$ para $Y\subset X$ cerrado.

Esa es la versión corta; permítanme decir por qué yo diría que se trata de una de Cauchy de la integral de la fórmula y decir lo que yo sé.

Primero de todo, ¿por qué es esta una de Cauchy de la integral de la fórmula? En esta analogía, estoy pensando en un morfismos $X\to Y$ como una función de $Y(T)\to K_0(\text{Var}_T)$, el envío de un punto de $y$ a $X_y$. Se supone que tienes que pensar de $[X_K]$ como una función de $\text{Spec}(K)$ (un puntured disco), y la pregunta es si podemos recuperar el valor en el punto central de la $\text{Spec}(k)$ a partir de estos datos. El complejo-analítica analógico es exactamente la de Cauchy de la integral de la fórmula.

Permítanme darles un poco no trivial ejemplo. Un trivial de la familia de Hirzebruch superficies de $X_n$ puede degenerar a $X_n$ o $X_{n+2}$. Pero, por supuesto,$[X_n]=[X_{n+2}]=(\mathbb{L}+1)^2$.

Algunos otros ejemplos: si $X_K, Y_K$ son isomorfos como polarizado variedades y una de ellas es no falló, todo es bueno por Matsusaka-Mumford. En particular, si $X, Y$ son canónicamente polarizada, la respuesta a mi pregunta es afirmativa.

Asimismo supongamos $X_K, Y_K$ han trivial canónica paquete. A continuación, $X_k, Y_k$ han trivial canónica paquete así (al menos si $K$ tiene de característica cero) y se birationally equivalente, mediante la difusión de la isomorfismo $X_K\simeq Y_K$. Pero birational Calabi-Yau tienen la misma clase en algunas leves localización de) $K_0(\text{Var}_k)$, por Kontsevich del motivic resultados de la integración.

Un poco mejor versión de la pregunta es:

Deje $X, Y$ ser suave proyectiva $R$-esquemas de con $[X_K]=[Y_K]$. ¿Esto implica $[X_k]=[Y_k]$?

Esto daría algún tipo de especialización mapa de $K_0(\text{Var}_K)\to K_0(\text{Var}_k)$, al menos si $\text{char}(K)=0$.

AÑADIDO: El resultado también es cierto para las curvas y superficies. Para las curvas de esto es fácil; para superficies, se observa que el $X_k, Y_k$ son birationally equivalente. Por tanto, hay una superficie de $Z$ obtenido por la voladura $X_k, Y_k$ a un cierto número de puntos, por lo que $$[X_k]+n\mathbb{L}=[Z]=[Y_k]+m\mathbb{L}.$$ But $n=m$ because $X_k, Y_k$ have equal Euler characteristic, so $[X_k]=[Y_k]$.

Answer 1

Creo que la respuesta es sí en el residuo de característica cero caso. Voy a mostrar un leve localización del anillo de Grothendieck (invertida $[L]$ e $[L]-1$). Esto también puede seguir a partir de trabajo de Denef y Loeser en el motivic cercanos más fino.

La carne real de que el argumento será el débil teorema de factorización.

En primer lugar, por norma algebraization argumentos + eliminación de las singularidades, se puede reducir al siguiente problema:

Deje $X$ e $Y$ ser suave variedades tanto la asignación a una curva de $C$, con el fibrations isomorfo lejos de un punto de $x$ en $C$, y a la vez suave sobre un barrio de $x$. Mostrar que $[X_x]=[Y_x]$.

Para resolver esto, considere la involución de $K^0(Var)[L^{-1}]$ que envía a $[X]$ a $[X] /[L]^{d}$ para $[X]$ un suave proyectiva variedad de dimensión $d$. Se puede comprobar que esto está bien definido mediante el golpe de las relaciones de Franziska Bittner/Heinloth: Para $Y \to X$ un golpe con el centro $Z$ de codimension $c$ y el divisor excepcional $Z$, $$[X] -[L]^c [Z]= [Y]- [L][E]$$ follows from $$[X]-[Z]=[Y]-[E]$$ and $$([L]^c-1)[Z]) = ([L]-1)[Y],$$ tanto obvio.

Ahora la aplicación de la involución a la conocida relación $$[X]-[X_x]=[Y]-[Y_x],$$ we obtain $$[X]-[L][X_x]=[Y]-[L][Y_x].$$ Subtracting, we obtain $$ \left([L]-1\right) X_x = \left([L]-1\right) [Y_x]$$ and we win by dividing by $[L]-1$.

Yo reclamo la división por $[L]$ e $[L]-1$ en este argumento puede ser eliminado si se desea, para obtener una identidad en la unlocalised anillo de Grothendieck. Cuando se trabaja con variedades de dimensión $\leq d$, en lugar de dividir $[X]$ por $[L]^{\dim X}$ podemos multiplicar por $[L]^{d-\dim X}$ para lograr el mismo efecto. Esto elimina la necesidad de unirse a $[L]^{-1}$. Además, en lugar de trabajar con la involución directamente, se observa que sólo cambia una clase por un múltiplo de $[L]-1$ y trabajar con este cambio dividir por $[L]-1$, lo cual está bien definido, ya que podemos eliminar un factor adicional de $[L]-1$ de nuestro argumento para la relación. Esto elimina la necesidad de unirse a $([L]-1)^{-1}$.

Una cosa interesante acerca de este argumento es que se dice algo también en el caso de que $X_x$ es singular - algo así como "la integral sobre la $X_x$ de la motivic cerca de fibra de Denef y Loeser sólo depende de la $X_\eta$".