¿Cuáles son algunos ejemplos de teoremas acerca de la topología o la geometría diferencial, que han demostrado el uso de topológico/diferenciable de las pilas, o, algunos ejemplos de las pruebas más fácil por ellos? Soy muy consciente de varias de las afirmaciones más hermoso en el lenguaje de las pilas, pero, estoy buscando una aplicación concreta.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
BloodPhilia
Puntos
196
Me gustaría señalar que las pilas son "solo" mayor análogos de poleas - una herramienta básica para organizar la estructura. Lo mismo es cierto para topológico o diferenciable de las pilas. Así que creo que todo el mundo que espera a un sinfín de aplicaciones de las pilas debe ser capaz de nombrar a un igual de sorprendente aplicación de una gavilla. (No estoy diciendo que los que no existe!)
Dicho esto, permítanme mencionar una aplicación. En vista del hecho de que usted no recibe ninguna respuesta hasta ahora (aparte de la suya propia), espero que no sea demasiado inapropiado para tomar uno de mi propia investigación. Se aplica abelian gerbes con conexión a la elevación de los problemas para los principales paquetes.
Espero que las siguientes especificaciones calificar el teorema de abajo como de la aplicación: su declaración no implica ningún pilas o gerbes, sólo "básicos" de la geometría diferencial. Su prueba, sin embargo, es una simple composición de dos gerbe-teórico teoremas.
Teorema. Deje $M$ ser conectado a un suave colector, vamos a $P$ principal $G$-bundle con conexión a través de $M$, vamos a $\hat G$ ser una extensión central de $G$ por un abelian Mentira grupo $A$, y deje $\rho \in \Omega^2(M,\mathfrak{a})$ ser una 2-forma. Entonces, existe un director de $A$-bundle $\mathcal{L}_P$ sobre $LM$ con una conexión y con un producto de fusión, y un bijection entre
isomorfismo clases de ascensores de la estructura del grupo de $P$ de $G$ a $\hat G$ compatible con la conexión de escalar de curvatura $\rho$, y
secciones suaves de $\mathcal{L}_P$ que preservan el producto de fusión y tire de la conexión a la transgredido 1 formulario a -$L\rho \in \Omega^1(LM,\mathfrak{a})$.
Por supuesto, algunos de los conceptos que aparecen aquí necesitaría un poco más de explicación - pero ese no es el punto. Permítanme señalar cómo gerbes con conexión aparecen en la imagen. Se utilizan dos resultados de gerbe teoría:
Asociado a cada elevación problema planteado por un paquete de $P$ es $A$-gerbe más de $M$, llamado el "levantamiento de gerbe" y que se denominan $\mathcal{G}_P$. Este gerbe representa geométricamente la obstrucción en contra de los ascensores. Por otra parte, el real ascensores están en equivalencia con como banalizaciones de $\mathcal{G}_P$. El mismo funciona si uno quiere incluir conexiones en el levantamiento problema. Estos son los resultados de Murray y Gomi.
La categoría de $A$-gerbes con conexión a través de $M$ es equivalente a una cierta categoría de principal $A$-paquetes con conexión a través de $LM$ que están equipadas, además, con "productos de fusión". La equivalencia se establece por una transgresión functor, que ha sido introducido por Brylinski y McLaughlin. Se toma como banalizaciones de gerbes a las secciones de paquetes.
Ahora, definir $\mathcal{L}_P$ como la transgresión de $\mathcal{G}_P$. Desde la transgresión es una equivalencia de categorías, es un bijections en Hom-conjuntos, y este bijection es exactamente el enunciado del teorema.
Ok, con el fin de completar mi afirmación de que esta es una aplicación, probablemente debería mencionar un ejemplo en el que el teorema es útil. Ese es el caso de $spin$ e $spin^c$ estructuras en los colectores, y que he aprendido acerca de Stephan Stolz y Pedro Teichner. En el caso de $spin$ estructuras, $\mathcal{L}_P$ es $\mathbb{Z}_2$-paquete de más de $LM$ y desempeña el papel de la orientación paquete de $LM$. Desde $\mathbb{Z}_2$ es discreto, todas las conexiones de desaparecer y las formas son idénticamente cero. Así, el teorema dice que isomorfismo clases de $spin$ estructuras en $M$ están en bijection a "la fusión de la preservación de orientaciones" de $LM$. En el $spin^c$ de los casos, una declaración similar se sigue que, además, incluye el escalar de curvatura de la $spin^c$-estructuras.
botismarius
Puntos
1333
Mientras preguntando esto, casi me olvidé de que una aplicación no vienen a la mente:
http://www.math.fsu.edu/~aluffi/archive/paper325.pdf
En este trabajo Behrang Noohi muestra cómo utilizar topológico pilas para calcular el grupo fundamental de un cociente de un espacio topológico por un grupo(oid) de la acción mediante el uso de datos de punto fijo.
botismarius
Puntos
1333
Que debo actualizar con una mención de algunos de mis propios resultados en http://arxiv.org/abs/1504.02394:
Hay una prueba de Segal del teorema de que la clasificación de espacio $B\Gamma^q$ de Haefliger la foliación groupoid es homotopy equivalente a la clasificación del espacio de la discreta monoid de incrustaciones de $\mathbb{R}^n$ dentro de sí mismo $B\mathbf{Emb}\left(\mathbb{R}^n\right)$ usando diferenciable pilas (y superior topos de la teoría). (Este es el teorema 3.7)
También puede utilizar la misma maquinaria para demostrar el siguiente teorema (Teorema 4.1):
Deje $G$ ser una Mentira grupo actuando casi libremente en un colector $M$. A continuación, el homotopy tipo de Borel construcción $M\times_G EG$ es el mismo que el de la clasificación de espacio de una cierta categoría discreta, cuyos objetos son suaves tranversals, es decir, mapas $f:\mathbb{R}^n \to M,$ con $n=\dim M - \dim G$ que son transversales a la $G$de las órbitas.
