Deje $\mbox{Rings}$ ser la categoría de anillos conmutativos con $1$.
Hay una equivalencia de categorías $F: \mbox{Rings} \to \mbox{Rings}$ s.t.
$$F(\mathbb{Z}[x])\not\cong \mathbb{Z}[x]?$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?La categoría de $\mbox{Ring}$ es rígida, es decir, cada equivalencia $\mbox{Ring} \to \mbox{Ring}$ es isomorfo a la identidad,
Prueba: Supongamos $F : \mbox{Ring} \to \mbox{Ring}$ ser una equivalencia. La parte principal es demostrar que $A := F(\mathbb{Z}[x])$ es isomorfo a $\mathbb{Z}[x]$. Carlos " la respuesta muestra que $A$ es un retractarse de un polinomio anillo de $\mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$, en particular, a una integral de dominio. Desde $\mathbb{Z}$ es la inicial de anillo, $F$ conserva y desde $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}[x]$ es una división monomorphism, lo mismo es cierto para $\mathbb{Z} \to A$. Así tenemos a $\mathbb{Z} \subseteq A \subseteq \mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$. Ahora, supongamos que ya sabíamos que $A$ es un UFD con $\text{tr.deg}(Q(A)/\mathbb{Q}) = 1$. A continuación, [2], Teorema 4.1 implicaría que $A \cong \mathbb{Z}[x]$. Tenga en cuenta que la única que no sea trivial de entrada en el lema anterior de este teorema es Lüroth del teorema aplicado a $A \otimes \mathbb{Q}$, lo que no es necesario aquí porque se mostrará directamente debajo de $Q(A) \cong \mathbb{Q}(x)$.
Así que vamos a ver las dos propiedades de $A$. Desde $A$ es un retractarse de $\mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$, que es UFD, llegamos a la conclusión de [1], Prop. 1.8 que también se $A$ es UFD.
Ahora queda por demostrar que $Q(A) \cong \mathbb{Q}(x)$, lo que Kevin Ventullo ya ha esbozado en los comentarios. Primera nota de que $F$ conserva trivial anillos desde $0$ es el terminal de anillo. Un monomorphism es el mismo como una inyectiva anillo homomorphism (desde el forgetul functor de los anillos de los conjuntos es representable), lo $F$ conserva inyectiva anillo homomorphisms. Ahora los campos son precisamente los que no son triviales anillos con sólo una correcta ideal, es decir, que cada homomorphism a un trivial anillo es inyectiva. Por lo tanto $F$ conservas campos (y también extensiones de campo).
El universal propiedad del cociente de campo y que ya sabemos que $F$ preserva $\mathbb{Z}$, son parte integrante de los dominios, los campos y las inyecciones implica $F(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Q}$ e $Q(A) = F(\mathbb{Q}(x))$. Ahora la extensión de $\mathbb{Q}(x)$ de % de $\mathbb{Q}$ se caracteriza por la propiedad es trascendental, y cada trascendental extensión de factores sobre él. Así es caracterizar algebraicas campo extensiones $L/K$.
Para ello, llamamos a $L/K$ localmente finito si para cada extensión de $E/K$ hay sólo un número finito $K$-homomorphisms $L \to E$. Está claro que cada extensión finita es localmente finito. Además, cada localmente finito extensión algebraica: Si no, elegir una trascendencia base $B$ y extender infinitamente muchos homomorphisms de $K(B)$ a es algebraico de cierre para obtener una contradicción. De ello se desprende que algebraicas extensiones son precisamente los filtrados colimits localmente finito extensiones.
Así hemos demostrado que $F(\mathbb{Z}[x]) \cong \mathbb{Z}[x]$. Ahora vamos a $R$ ser un anillo. La costumbre de perforación de la estructura en $\mathbb{Z}[x]$ induce una estructura de anillo en $\text{Hom}(\mathbb{Z}[x],R)$ que es naturalmente isomorfo a $R$. Cada perforación estructura en $\mathbb{Z}[x]$ es isomorfo a la habitual ([3], Prop. 3.1). Así, tenemos, naturalmente, en $R$,
$R \cong \text{Hom}(\mathbb{Z}[x],R) \cong \text{Hom}(F(\mathbb{Z}[x]),F(R)) \cong \text{Hom}(\mathbb{Z}[x],F(R)) \cong F(R)$.
Por lo tanto $F$ es isomorfo a la identidad. En realidad [3] se da otra, otra prueba similar que $\mbox{Ring}$ es rígido, y más en general, se clasifica a los automorfismos de la categoría de $R$-álgebras, donde $R$ es una parte integral de dominio. Yo debería haber revisado la literatura en el primer lugar.
[1] Douglas L. Costa, se Retrae del Polinomio Anillos, J. Álgebra 44 (1977), pp 492 - 502
[2] S. Abhyankar, P. Eakin, W. Heinzer, En la singularidad del coeficiente de anillo en un polinomio anillo, J. Álgebra 23 (1970), pp 310 - 342
[3] W. E. Clark, G. M. Bergman, El Automorphism Grupo de Clase de la Categoría de los Anillos, J. Álgebra 24 (1973), pp 80 - 99
Farinha
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Aquí es un nuevo corto de la prueba, de que la categoría de los anillos es rígida:
Lema: Vamos a $R,S$ ser anillos, de tal manera que $\text{Alg}(R), \text{Alg}(S)$ son equivalentes como categorías. A continuación, $R,S$ son isomorfos.
Prueba: $R$ es el objeto inicial de $\text{Alg}(R)$ y la coma categoría $\text{Alg}(R) / R$ es (a través de unitalization) equivalente a la categoría de $\text{Alg}'(R)$ de %de $R$- álgebras de que no se supone que para ser unital. Ahora $0$ es un cero objeto de $\text{Alg}'(R)$, por lo tanto null morfismos son definidos. Una de morfismos $\alpha : A \times A \to A$ en $\text{Alg}'(R)$ con $\alpha (\text{id}_A,0) = \text{id}_A, \alpha (0,\text{id}_A) = \text{id}_A$ existe si y sólo si $(x,y) \mapsto x+y$ es multiplicativo, es decir, la multiplicación en $A$ es trivial, que es $A$ es sólo un $R$-módulo. Así, hemos reconstruido $\text{Mod}(R)$ categóricamente de $\text{Alg}(R)$. Finalmente, podemos reconstruir $R$ como el centro de la $\text{Mod}(R)$. qed
Teorema: Todos los auto-equivalencia de $\text{Ring}$ es isomorfo a la identidad.
Prueba: Supongamos $F : \text{Ring} \to \text{Ring}$ ser una equivalencia. Ahora $\text{Alg}(R)$ es sólo la coma categoría $R \backslash \text{Ring}$, por lo que tenemos una equivalencia $\text{Alg}(R) \cong \text{Alg}(F(R))$. El lema implica $F(R) \cong R$, en particular, $F(\mathbb{Z}[x]) \cong \mathbb{Z}[x]$ como anillos. Pero después tenemos también un isomorfismo de corings y, a continuación,$F \cong \text{id}$, como se ha explicado en mi anterior prueba. qed
Observación, sin embargo, que esta prueba no es aplicable para los automorfismos de $\text{Alg}(R)$.
Patrick McElhaney
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He aquí una propuesta para una prueba, aunque no puedo terminarlo.
- Una de morfismos en una categoría es un regular epimorphism si coequalizes algún par de morfismos.
- Un objeto $P$ en una categoría es proyectivo si $\mathrm{Hom}(P,X)\to \mathrm{Hom}(P,Y)$ es surjective por cada epimorphism $X\to Y$.
- Un objeto $K$ en una categoría es compacto si $\mathrm{Hom}(K,-)$ toma filtrada colimits filtrado colimits de conjuntos.
- Un objeto $X$ en una categoría es irreducible si sólo se retrae de $X$ son en sí mismo y el objeto inicial.
Un auto-equivalencia de una categoría de preservar estas condiciones.
Reclamo: $\mathbb{Z}[x]$ es (hasta el isomorfismo) el único irreductible compacto proyectiva en anillos conmutativos.
Lo que sí sé (creo):
- Regular epis en $\mathrm{Rings}$ son exactamente los surjective anillo homomorphisms.
- Objetos compactos en $\mathrm{Rings}$ son exactamente los finitely presenta anillos.
Desde el polinomio que los anillos son ciertamente proyectiva, esto significa que el compacto proyectiva objetos en $\mathrm{Rings}$ son precisamente los retrae de la $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$s.
Mi intuición es que se retrae de un polinomio anillo son siempre isomorfo a un polinomio de anillo. En el que caso de $\mathbb{Z}[x]$ sería el único irreductible compacto proyectiva. Pero puedo estar completamente equivocado acerca de eso.
