¿Qué se puede hacer actualmente en la teoría de invariantes para las formas binarias?

Question

Cuando Paul Gordan se convirtió en profesor en 1875 pudo demostrar que la forma binaria en cualquier grado tiene algún sistema completo finito de invariantes (lineales generales), pero en realidad no pudo dar un sistema completo por encima del grado 6. Ese año discutió esta limitación en Sobre el sistema de formas binaéricas (B.G. Tuebner, Leipzig).

Hasta donde puedo decir (leyendo a Kung, Sturmfels, Derksen y Eisenbud y alguna correspondencia con ellos) los avances en el álgebra teórica y computacional no han cambiado realmente eso. La complejidad del cálculo aumenta tan rápidamente con el grado que el límite del grado 6 no ha sido superado por mucho o nada. Pero quizás mi información sea incompleta o esté desfasada.

¿Es posible ahora calcular sistemas completos específicos de invariantes en grados superiores? ¿Cuál es el estado de la cuestión?

Respuestas a la pregunta Algoritmos en la teoría de invariantes dan referencias relevantes pero no dan ninguna respuesta clara. Una lleva a un artículo de arXiv que describe un paquete informático de esta manera.

El paquete calcula el conjunto de invariantes irreducibles hasta el grado min(18, ?d), pero en todos los casos computables conocidos este conjunto coincide con un conjunto generador mínimo, véase, por ejemplo, la página web de Brouwer http://www.win.tue.nl/~aeb/math/invar/invarm.html

Esto se refiere al grado de los invariantes, no al grado de la forma para la que son invariantes. No he encontrado allí una descripción de los casos que son computables. Y ese enlace ya no funciona.

Answer 1

Dejemos que $F$ sea una forma binaria de grado $d$ , es decir, un polinomio homogéneo de la forma $$ F(\mathbb{x})=\sum_{i=0}^{d}\left(\begin{array}{c}d\\ i \end{array}\right)f_i\ x_1^{d-i}x_2^i $$ donde $\mathbb{x}$ denota el par de variables $(x_1,x_2)$ . Para $g=(g_{ij})_{1\le i,j\le 2}$ en $GL_2$ definiendo la correspondiente acción de la izquierda sobre las variables por $g\mathbb{x}=(g_{11}x_1+g_{12}x_2, g_{21}x_1+g_{22}x_2)$ . Esto da una acción sobre las formas binarias a través de $$ (gF)(\mathbb{x}):=F(g^{-1}\mathbb{x})\ . $$ Ahora considere $C(F,\mathbb{x})=C(f_0,\ldots,f_d;x_1,x_2)$ un polinomio en estos $d+3$ variables. Se denomina clásicamente covariante de la forma binaria (genérica) $F$ si cumple con $$ C(gF,g\mathbb{x})=C(F,\mathbb{x}) $$ para todas las matrices $g$ en $SL_2$ . Estos polinomios forman un anillo ${\rm Cov}_d$ . Tiene un subring ${\rm Inv}_d$ formado por polinomios en los coeficientes de la forma $f_0,\ldots,f_d$ sólo. Este es el anillo de invariantes. Es bien sabido que los invariantes no separan las órbitas. Sin embargo, los covariantes separan órbitas. También es obvio que si se conoce un sistema mínimo de generadores para ${\rm Cov}_d$ entonces contendrá (como el grado cero en $\mathbb{x}$ subconjunto) un sistema mínimo para ${\rm Inv}_d$ .

Los sistemas mínimos para los anillos ${\rm Cov}_5$ y ${\rm Cov}_6$ fueron determinados por Gordan en su Artículo de 1868 (y no en 1875). Entonces von Gall determinó ${\rm Cov}_8$ alrededor de 1880 y más tarde el caso más difícil ${\rm Cov}_7$ en 1888 .

En 1967 Shioda rederivó un sistema mínimo para ${\rm Inv}_8$ El sistema de von Gall para el séptimo era generador pero no mínimo. Seis elementos de su lista eran de hecho reducibles. La determinación de un sistema verdaderamente mínimo de 147 covariantes para ${\rm Cov}_7$ es a Holger Cröni (tesis doctoral de 2002) y a Bedratyuk en J. symb. Comp. 2009 . En 2010, Brouwer y Popoviciu obtuvieron los sistemas mínimos de generadores para ${\rm Inv}_9$ ( 92 invariantes ) y ${\rm Inv}_{10}$ ( 106 invariantes ).

Sólo muy recientemente, Lercier y Olive consiguió ir más allá de los resultados de von Gall de 1888 y determinó los sistemas mínimos de generadores para ${\rm Cov}_9$ (476 covariantes) y ${\rm Cov}_{10}$ (510 covariantes).

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Adenda: Recientemente, para $d$ divisible por cuatro, elaboré una lista explícita de invariantes de grados $2,3,\ldots,\frac{d}{2}+1$ y demostró que son algebraicamente independientes. Ver mi artículo "Un resultado de independencia algebraica relacionado con una conjetura de Dixmier sobre invariantes de formas binarias" .

Answer 2

El enlace ya funciona y puede utilizar el paquete. Además, el límite superior 18 para el grado no es principal y el paquete puede calcular invariantes y para el grado >18 después de una pequeña corrección.