Categórica Unificación de Jordania Titular de Teoremas

Question

Además de la Jordania-Titular teorema para grupos, hay varios Jordania Titular de Teoremas para el resto de categorías:

1. Finito dimensionales representaciones tienen filtraciones, cuyos asociados gradual consiste en representaciones irreducibles. Cualquier otro asociado gradual es el mismo hasta la permutación de sus elementos.

2. Artinian módulos tienen filtraciones, cuyos asociados gradual consta de módulos sencillos. Cualquier otro asociado gradual es el mismo hasta la permutación de sus elementos.

3. (He cambiado este ejemplo de la original) Finito dimensionales álgebras de hopf tienen filtraciones, cuyos asociados gradual consta de simples de álgebras de hopf. Cualquier otro asociado gradual es el mismo hasta la permutación de sus elementos.

Hay coincidencia para las pruebas de estas así. Me pregunto si alguien ha llegado con un categórico versión de la Jordania-Titular teorema, que en un sentido que abarca estas.

Por ejemplo, uno podría tratar de buscar en la categoría de subquotients $\text{SubQuot}(X)$ de un objeto $X$ en categoría $C$. Los objetos de esta categoría son los pares de $(Z, Y)$ con $Y \in \text{Quot}(X)$ e $Z \in \text{Sub}(Y)$. Morfismos $f : (Y, Z) \rightarrow (Y', Z')$ son pares de mapas de $Y \twoheadrightarrow Y'$ en $\text{Quot}(X)$ e $Z' \rightarrow \text{im}(Z \rightarrow Y \rightarrow Y')$ en $\text{Sub}(Y')$.

Dicen que una filtración es una de las secuencias de subquotients $(Y_i, Z_i)$ donde $0 \rightarrow Z_i \rightarrow Y_i \rightarrow Y_{i+1} \rightarrow 0$ es exacta. Dicen que un simple objeto es uno, sin trivial cociente de los objetos.

Podemos representar un par de $(Z, Y)$ con $(Z_X, Y)$, donde $Z_X$ es el pullback de $Z \rightarrow Y$ a lo largo de $X \rightarrow Y$. Para construir el subproducto $(Y, Z) \amalg (Y', Z')$ de $(Y, Z)$ e $(Y', Z')$, simplemente tomamos el pushout $Y''$ de $Y$ e $Y'$ en $C$ (subproducto en $\text{Quot}(X)$), y el pullback $Z''_X$ de $Z_X$ e $Z'_X$ en $C$ (producto en $\text{Sub}(X)$). El subproducto es representado por el par $(Y'', Z''_X)$.

Co-productos pueden ser usados para refinar filtraciones. El Jordan-Titular Teorema de los módulos, a continuación, afirma que, para dos filtraciones $\{ (Z_i, Y_i) \}_{i = 1}^n$ e $\{ (Z_j', Y_j') \}_{j = 1}^m$ con sencillo (no trivial cociente de objetos) subquotients $Z_i$ e $Z_j'$, podemos tomar un mutuo perfeccionamiento $\{ (Z_i, Y_i) \amalg (Z_j', Y_j') \}_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m }$. El mutuo perfeccionamiento, después de desechar sus elementos redundantes, tiene el mismo subquotients como tanto $\{ (Z_i, Y_i) \}_{i = 1}^n$ e $\{ (Z_j', Y_j') \}_{j = 1}^m$, ya que una filtración por simple subquotients sólo debe tener el trivial refinamientos.

Creo que esto funciona para grupos y módulos. Sin embargo, estoy especialmente interesado a ver si alguien puede hacer algo como esto trabajo para el tercer ejemplo de arriba, que parece más difícil, porque no acabo de ver cómo encaja con el resto.

Answer 1

Esta realidad no implica ninguna categoría de teoría, pero tal vez es útil tener en cuenta la siguiente configuración general para el Jordan-Hölder teorema.

Para $G$ un grupo y $\Omega$ un conjunto, un grupo de operadores es $(G, \Omega)$ equipado con una acción $\Omega \times G \rightarrow G$: $(\omega,g) \mapsto g^\omega$ tal que $(gh)^{\omega} = g^{\omega} h^{\omega}$ para todos los $\omega \in \Omega$ e $g, h \in G$.

Ver el artículo de la Wikipedia para obtener más información acerca de los grupos con los operadores: enlace.

El punto es que el Jordan-Hölder teorema se aplica para un grupo con los operadores, y parece que a la mayoría de Jordan-Hölder tipo de teoremas como un caso especial. Estos incluyen, por ejemplo, la de Jordan-Hölder teoremas para grupos y módulos sobre un anillo. También, mediante la adopción de $\Omega = G$ con la conjugación de la acción, se obtienen resultados sobre el jefe de la serie y director de los factores de $G$.

Answer 2

Hay varias generalizaciones de Jordan-Hölder teorema. Más allá de los grupos y de los grupos con los operadores para cualquier teoría ecuacional que contiene un Mal'cev operación. Esto significa que de las operaciones uno puede formar un complejo de operación $m(x,y,z)$ satisfacción $m(x,x,z)=z$ e $m(x,z,z)=x$ para todos los $x,y,z$. Cada teoría ecuacional que contiene un grupo de la operación es un ejemplo, puesto que $m(x,y,z)=xy^{-1}z$ tiene el Mal'cev de la propiedad. Otro ejemplo no se de que tipo sería la clase de álgebras de Heyting. Un no ejemplo de ello es la clase de redes.

El hecho de que cada teoría ecuacional que contienen un Mal'cev operación satisface el Jordan-Hölder teorema ha sido demostrado por Lambek en Goursat del teorema y la Zassenhaus lema. Canadá. J. Math. 10 (1958) 45-56. Es mi impresión de que el Mal'cev condición es bastante óptimo en este contexto.

El JH-teorema claramente también tiene en abelian categorías, pero que no está cubierto por Lambek del teorema anterior. Un común generalización que se ha logrado por Carboni-Lambek-Pedicchio con la noción de un Mal'cev categoría (en el Diagrama de perseguir en Mal'cev categorías, J. Pure Appl. Álgebra 69 (1991) 271-284). Estas son las categorías exactas (en el sentido de Barr, no Quillen!) que tiene la curiosa propiedad de que cada reflexiva de la relación ya es una relación de equivalencia. La categoría de modelos de un equationial teoría con un Mal'cev operación sería un ejemplo (que es un divertido ejercicio). La categoría también debe tener un $0$-objeto con el fin de ser capaz de definir los núcleos. Entonces uno puede mostrar que, a continuación, todos los objetos de longitud finita tiene el JH-propiedad. Una prueba de que se ha dado en F. Manzana: Tensor de sobres de categorías regulares. Los avances en las Matemáticas 214 (2007) 571-617 aunque el hecho debe haber sido al menos el folclore.

Answer 3

Hay también la obra de Francis Borceux y Marco Grandis,

Jordan-Hölder, la modularidad y la distributividad de la no-álgebra conmutativa, J. Pure Appl. Álgebra 208 (2007), no. 2, 665-689, doi.

Allí los autores demuestran un Jordan-Hölder teorema (4.4) para todos 'débilmente exacto' categorías (1.2).