Vector de paquetes vs principal $G$-paquetes

Question

Es bien sabido que una (real) del vector paquete de $\pi : E\to B$ sobre un espacio topológico (o colector) $B$ es una fibra paquete cuyas fibras
$$F=\pi^{-1}(x), \ \ \ x\in B $$
por encima de cualquier $x\in B$, son diffeomorphic a un espacio vectorial $V$. Por otro lado, un director de $G$-bundle es un paquete de fibra de $\pi : P\to B$ sobre $B$ con un derecho libre de la acción de una Mentira grupo $G$ a $P$ tal que para cualquier conjunto abierto $U\subset B$, localmente trivial fibrations definido por: $$ \Phi_{U} : \pi^{-1}(U)\U\times G, \ \ \Phi_{U}(p)=(\pi(p), \varphi_{U}(p)). $$ Aquí $$ \ \varphi_{U} :\pi^{-1}(U)\to G $$ es una $G$-equivariant mapa, que es $\varphi_{U}(pg)=\varphi_{U}(p)g$, para todos los $p\in\pi^{-1}(U)$ e $g\in G$. En el último caso las fibras son submanifolds de $P$ que son siempre diffeomorphic con la estructura de grupo $G$.

Aunque para cualquier vector paquete de $\pi : E\to B$, sus fibras $F\cong V$ puede ser considerado como la Mentira de un grupo con la operación de la adición de vectores, en general, no incluyen el vector de paquetes como ejemplos de los principales $G$-paquetes (Aunque, para cada vector paquete podemos asociar el marco bundle, que es un ${\rm GL}_{n}\mathbb{R}$-director de grupo, pero no quiero hablar aquí acerca de asociados paquetes).

Mi pregunta es acerca de una buena explicación sobre el hecho de que , EN GENERAL, el vector de paquetes (ellos) no dar ejemplos de los principales $G$-paquetes. Por ejemplo, la tangente bundle $TM$ de un buen colector es un prototipo ejemplo de un vector paquete, pero en sí misma no puede ser considerada como una entidad de paquete para una Mentira grupo$G$, ¿es esto cierto? Por eso os pido:

Cual es la diferencia básica entre un vector paquete de a $G$-bundle, que no nos permite (casi siempre??), para considerar el vector de paquetes a sí mismos como ejemplos de $G$-haces?

Por ejemplo, $G$- bundle es trivial (isomorfo al grupo de productos), si y sólo si se admite una sección global, pero creo que esto no es cierto para que el vector de paquetes.

Una segunda pregunta es acerca de los ejemplos de vector de paquetes que pueden ser considerados al mismo tiempo como $G$-bundles para algunos Mienten grupo (creo que un ejemplo de ello es un cilindro)

Answer 1

La diferencia es que, para un vector paquete, normalmente no es natural Mentira grupo de acción sobre el espacio total que actúa transitivamente sobre las fibras. El hecho de que todas las fibras son, individualmente Mentira grupos, no significa que no es una Mentira grupo que actúa en todo el espacio, la restricción para cada fibra de ser un simple acción transitiva. El ejemplo más simple de esto es el trivial de la línea de paquete sobre el círculo. Otro ejemplo es la tangente paquete de $S^2$.

Answer 2

Creo que te han contestado lo mismo. Principales paquetes son triviales iff que admitir global liso de sección. Vector haces siempre admite un mundial liso de sección (sección cero).

Por lo tanto, el vector principal de G-paquetes son siempre trivial. De los pocos ejemplos de vector G-paquetes son por lo tanto de la forma M x G, donde G es un espacio vectorial y una Mentira grupo. Cualquiera de los ejemplos de tales G excepto para Abelian?

Answer 3

Esta es una vieja cuestión, pero yo estaba pensando acerca de esta pregunta a mí mismo y me di cuenta de esto:

Para un vector paquete de más de un campo $K$ de la fila $n$, si se tratara de un director de lote, éste tendría que ser un director de paquete para el grupo aditivo de los espacio vectorial $K^n$. Sin embargo, como un vector paquete, el como banalizaciones están pegados a lo largo de las intersecciones a través de isomorphisms de espacios vectoriales, es decir, los elementos de $\text{GL}_n(K)$, mientras que para un director de $K^n$-el paquete, el encolado se realiza mediante elementos de $K^n$ (es decir, las traducciones). Esto significa que no sólo es un vector paquete no es un director de grupo, pero también a un director que $K^n$ bundle no es un vector paquete.

Answer 4

Como un pequeño comentario aquí, con el fin de evitar confusiones:

La tangente bundle $TM$ de un suave $n$-dimensiones (real) colector $M$ puede ser considerado como el vector paquete asociado con la ${\rm GL}_{n}\mathbb{R}$-principal paquete de $L(M)$ de marcos lineales, que significa

$$ TM=L(M) \times_{{\rm GL}(n)}\mathbb{R}^{n} = L(M) \times_{\rho}\mathbb{R}^{n} $$

donde aquí $\rho$ es el estándar de representación de la matriz.