Lo finito simple grupos podemos obtener utilizando octonions?

Question

Reorganizado en 2017-05-31

Lo que me falta es una definición uniforme de la finitos simples grupos. Especialmente esporádicos grupos son difíciles de definir.

Muchos de los grupos finitos se definen utilizando la maquinaria de la Mentira de los grupos. Por ejemplo grupo compacto $F_4$ se define el uso de Albert álgebra sobre octonions. Finito grupo $F_4(q)$ se define de manera similar mediante octonions sobre el campo $\mathbb F_q$. Véase, por ejemplo, Wilson - Albert álgebras y la construcción de la finitos simples grupos de $F_4(q)$, $E_6(q)$ e $^2E_6(q)$ y sus genéricos cubre.

Mentira grupo $G_2$ se define como el grupo de automorfismos de octonions. Finito grupo $G_2(q)$ es el grupo de automorfismos de finito octonions $\mathbb O(q)$. He observado que este grupo es generado por los elementos de la $(L_xR_y)^2$ donde $x$, $y$ son imaginario perpendicular octonions. Tal elemento revisión subalgebra $\langle x,y\rangle$. $L_x$ está a la izquierda de la multiplicación y la $R_x$ está a la derecha de la multiplicación por octonion $x$. Octonion $x$ es imaginario cuando $x\bar x=1$ e $\bar x=-x$ e $x \neq 1$. Dos imaginario octonions son perpendiculares cuando viajan o anticommute (equivalentemente, producto de ellos es imaginario). El número de imaginaria octonions es $q^6-1$ para $q$ aun; $q^6+(-1)^{(q - 1)/2}q^3$ para $q$ impar. Por medio de un experimento en la BRECHA suponemos que el número de perpendicular imaginaria elementos fijos imaginario $u$ es $q^5-2$ para $q$ aun; $q^5+(-1)^{(q + 1)/2}q^2$ para $q$ impar. Como siguiente paso, podemos contar el número de involuciones igual al número de la cuádrupla subalgebras. Tenemos que ser cuidadosos en el carácter de los dos, lo que los cuaterniones subalgebra es. Hay dos involución clases conjugacy en este caso. El estabilizador de la involución es $D_2(q)$ en el caso de $q$ impar. Otro paso sería encontrar $SU_3$ equivalente allí. Sorprendentemente hay dos de ellos $U_3(q)$ e $SL_3(q)$.

Además 2017-07-31

En compacto de Lie del grupo de $G_2$ cada elemento corrige algunos complejo subalgebra de octonions. Los automorfismos de la fijación de un determinado subalgebra formulario de $SU_3$. En el caso finito cada elemento de $G_2(q)$ corrige algunos 2-dimensional subalgebra generado por un elemento. Los automorfismos de la fijación de un dado 2-dimensional subalgebra generado por un elemento de formulario de $U_3(q)$ o $SL_3(q)$ (de los detalles que se aclaró).

Final de la suma

He encontrado generadores de $S_8(2)$ utilizando octonions $\mathbb O(2)$. La clase conjugacy de tamaño 255 se compone de elementos de $\{L_xR_xS\}$ para invertible $x$, $I+L_uR_u$ para $uu=0$ e $I+(S+L_\bar v)R_v$ para otros divisor de cero $v$ (satisfactorio $vv=v$) ($S$ es la matriz de conjugación). Grupo $S_8(2)$ es igual a $O_9(2)$, por lo que corresponde a $Spin_9$ subgrupo en $F_4$. Mira $F_4$ como automorfismos de plano proyectivo $\mathbb OP^2$ e $Spin_9$ como automorfismos de $\mathbb OP^1$. ¿Cómo podríamos definir $O_9(q) \subset F_4(q)$ utilizando finito octonions $\mathbb O(q)$?

Del mismo modo cómo definir $O_{10}^+(q) \subset E_6(q)$ e $O_{10}^-(q) \subset {^2E_6(q)}$ utilizando finito octonions? En el caso compacto, podemos buscar en $E_6$ como automorfismos de "plano proyectivo $\mathbb C \otimes \mathbb OP^2$". Véase Báez. Pongo entre comillas, porque no todos los matemáticos creen en este "plano proyectivo". En caso compacto tenemos $Spin_{10}$ e $E_6$ como automorfismos de $1$- e $2$-planos dimensionales más de $\mathbb C \otimes \mathbb O$.

Alguien ha tratado de definir $E_7(q)$ e $E_8(q)$ utilizando octonions? ¿Cuáles son las $O_{12}$ e $O_{16}$ integrada?

Sanguijuela entramado puede ser visto como resultado de 819 puntos en $\mathbb OP^2$. Véase la definición en el Wilson - Octonions y la Sanguijuela de la celosía de la Sanguijuela de celosía. Se define como la unión de 819 distintos $E_8$ celosías.

No sé cómo preguntar acerca de la aplicación de finito octonions para definir grupos esporádicos. He encontrado grandes críticas aquí.

Answer 1

Descubrimiento 2019-01-01

Deje $u$ ser de orden 3 octonion de norma $1$ y traza $-1$ (en el caso de la característica 2 tenemos $-1=1$; la norma es $x\bar x$, traza es $x+\bar x$). A continuación, el elemento $L_uR_{u^{-1}}$ es automorphism. De esta manera podemos obtener la orden de 3 generadores de $G_2(q)$. He probado en la BRECHA para $q=2,3,4,5,7,8,9$. No sé cómo demostrarlo, pero parece ser bastante fácil. Yo defino finito octonions como $\mathbb H_q+\mathbb H_q\iota$ el uso de Cayley-Dickson fórmula. Definimos cuaterniones $\mathbb H_q=M_2\mathbb F_q$ como matrices de $2\times 2$ más de campo finito. La conjugación se define como la matriz adjunta de intercambio de elementos en la diagonal y revertir el signo de fuera de la diagonal. El álgebra de los números complejos es el campo finito $\mathbb F_{q^2}$ representado por subalgebra generado por la matriz $\pmatrix{n&1\\ 1&0}$ orden $q+1$ cuando $n$ es $q-1$ generador del campo multiplicativo grupo. Esta matriz satisfacer la ecuación de $x^2=nx+1$.

Habiendo $\mathbb C_q=\mathbb F_{q^2}$ también podemos definir cuaterniones el uso de Cayley-Dickson fórmula $\mathbb H_q=\mathbb C_q+\mathbb C_qj$. La conjugación se define como $\overline{x+yj}=\bar{x}-yj$. Coincide con Frobenius automorphism $x\to x^q$ del campo $\mathbb F_{q^2}$.

Ley Similar es válido para compact octonions. Tome $u=e^{2πi/3}$ para algunos imaginario octonion $i$. Entonces $L_uR_{u^{-1}}$ es automorphism de fijación plano complejo $\langle1,i\rangle$ y la rotación de ángulo de $\frac{2π}{3}$ perpendiculares en el espacio.

Final de descubrimiento

Además 2019-04-09

Deje $T_u$ denotar $L_uR_{\bar u}$. Entonces tenemos la siguiente fórmula $T_u^{T_v}=T_{u^v}$. En esta fórmula $g^h=h^{-1}gh$ válido en el grupo o en octonion álgebra (elementos de la norma 1 es invertible).

Receta para $J_2$

Deje $u,v,w$ tres octonions de la norma 1 y traza 1 sobre el campo $F_4$ tal que el orden de producto de cada par es de 5 (fijo $u$ hay 2016 tales $v$; para la renta fija $u,v$ hay 960 tal $w$). Es equivalente al hecho de que el par de generar grupo de $A_5$ o 4-dimensional subalgebra $M_2F_4$. En tal caso, elementos $T_u, T_v, T_w$ generar grupo de $J_2$ de tamaño 604800. A partir de la fórmula anterior tenemos que 3A clase conjugacy en el grupo que corresponde a la constelación de 560 orden de 3 octonions cerrado por la conjugación $x\to \bar yxy $. ¿Cuál es el significado de tal constelación ? Estoy buscando un objeto geométrico conservado por el grupo $J_2\subset G_24$.